NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 132

a) Z pierwszego równania $y=6-2x$. Drugie ma postać $x-2y=-1$, więc $x-2(6-2x)=-1$. Stąd $x=\frac{11}{5}$, $y=\frac85$.

b) Z $2x+y=0$ mamy $y=-2x$. Po podstawieniu do pierwszego: $7x=1$, więc $x=\frac17$, $y=-\frac27$.

c) Pierwsze równanie daje $y=\frac{2-2x}{3}$. Po podstawieniu do $y-6x=-6$ otrzymujemy $x=1$, $y=0$.

d) Z $x+4y=5{,}3$ mamy $x=5{,}3-4y$. Po podstawieniu do pierwszego $10{,}6-11y=0{,}7$, więc $y=0{,}9$, $x=1{,}7$.

e) Pierwsze równanie upraszcza się do $2x-2y=1$, a drugie do $2x+y=-1$. Stąd $y=-\frac23$, $x=-\frac16$.

f) Z pierwszego równania $4x-3y=-20$, a z drugiego $16x+15y=460$. Podstawienie lub eliminacja daje $x=10$, $y=20$.

a) Pierwsze równanie daje $y=x-5$. Po podstawieniu do drugiego otrzymujemy $x=2$, $y=-3$.

b) Po uproszczeniu:

$$\begin{cases} x-y=-1,\\ -x-4y=10. \end{cases}$$

Stąd $x=-\frac{14}{5}$, $y=-\frac95$.

c) Układ upraszcza się do $5x-4y=29$ oraz $x+3y=2$. Stąd $x=5$, $y=-1$.

d) Po uproszczeniu mamy $12x-2y=-18$ i $-6x+5y=29$. Stąd $x=-\frac23$, $y=5$.

e) Otrzymujemy $12x-5y=13{,}5$ oraz $-2x+4y=-7$. Stąd $x=0{,}5$, $y=-1{,}5$.

f) Układ upraszcza się do $4x-2y=10$ i $3x+5y=27$. Stąd $x=4$, $y=3$.

a) Pierwsze równanie po podzieleniu przez $2$ jest identyczne z drugim: $x+2y=12$. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc jest nieoznaczony.

b) Dodając równania, otrzymujemy $2x=0$, zatem $x=0$, a następnie $y=1$. Układ ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.

c) Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego, ale prawa strona musiałaby wtedy wynosić $14$, a wynosi $4$. Układ jest sprzeczny.