NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 122

Ponieważ

$$\frac1{1-\sqrt2}=-1-\sqrt2,$$

mamy

$$-0{,}01x<-1-\sqrt2\iff x>100(1+\sqrt2).$$

Zachodzi $241<100(1+\sqrt2)<242$, więc najmniejszą liczbą naturalną spełniającą nierówność jest $242$.

Najpierw

$$A\cap B=[-100;-6)\cup[4;36].$$

Po odjęciu $C=[-8;4]$ dostajemy

$$(A\cap B)\setminus C=[-100;-8)\cup(4;36].$$

W pierwszym przedziale są liczby od $-100$ do $-9$, czyli $92$ liczby, a w drugim od $5$ do $36$, czyli $32$ liczby. Razem $124$.

Mamy

$$A\setminus B=(-\infty;-100)\cup(36;\infty).$$

Dla $q>0$ zachodzi

$$|x-p|>q\iff x<p-q\ \text{lub}\ x>p+q.$$

Porównując końce przedziałów, otrzymujemy

$$\begin{cases} p-q=-100,\\ p+q=36. \end{cases}$$

Stąd $p=-32$ i $q=68$.

Podstawiamy $x=\sqrt2k$:

$$|2\sqrt2k-3|<241.$$

Stąd

$$-\frac{119}{\sqrt2}<k<\frac{122}{\sqrt2}.$$

Granice są w przybliżeniu równe $-84{,}15$ i $86{,}27$, więc najmniejszym elementem $A$ jest $-84$, a największym $86$. Ich różnica wynosi $86-(-84)=170$.

Pierwszy warunek daje $-27\le x\le33$, czyli $61$ całkowitych wartości $x$. Drugi daje $-62\le y\le58$, czyli $121$ całkowitych wartości $y$. Każdą wartość $x$ można połączyć z każdą wartością $y$, zatem liczba punktów wynosi

$$61\cdot121=7381.$$

Jeśli $n$ nie jest podzielne przez $3$, to dla pewnego całkowitego $k$ ma postać $n=3k+1$ albo $n=3k-1$. W pierwszym przypadku

$$n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1,$$

a w drugim

$$n^2=9k^2-6k+1=3(3k^2-2k)+1.$$

W obu przypadkach reszta z dzielenia $n^2$ przez $3$ wynosi $1$.

Przenosimy prawą stronę na lewą i zapisujemy sumę kwadratów:

$$\begin{aligned} &3x^2-2\sqrt2x+1-2xy+y^2\\ &=(y-x)^2+2\left(x-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\ge0. \end{aligned}$$

Nierówność zachodzi więc dla wszystkich rzeczywistych $x,y$.

Rozkładamy różnicę ósmych potęg:

$$137^8-119^8=(137-119)(137+119)(137^2+119^2)(137^4+119^4).$$

Mamy $137-119=2\cdot9$ oraz $137+119=256=2^8$. Ponieważ obie liczby są nieparzyste, sumy $137^2+119^2$ i $137^4+119^4$ są parzyste. Cały iloczyn zawiera więc co najmniej czynnik

$$2\cdot2^8\cdot2\cdot2=2^{11}.$$

Pod pierwiastkiem mamy pełny kwadrat, a prawą stronę racjonalizujemy:

$$\sqrt{(x-2\sqrt3)^2}=|x-2\sqrt3|, \qquad \frac3{2\sqrt3-3}=3+2\sqrt3.$$

Zatem

$$|x-2\sqrt3|<3+2\sqrt3 \iff -3<x<3+4\sqrt3.$$

Ponieważ $9<3+4\sqrt3<10$, całkowite rozwiązania to liczby od $-2$ do $9$.

Upraszczamy granicę zbioru $A$:

$$\sqrt{13-4\sqrt3}=2\sqrt3-1, \qquad \sqrt{21-12\sqrt3}=2\sqrt3-3,$$

więc ich różnica wynosi $2$ i $A=(-\infty;2]$. Dalej

$$|2x+12|\ge2\iff |x+6|\ge1 \iff x\le-7\ \text{lub}\ x\ge-5.$$

Po odjęciu $A$ ze zbioru $B$ pozostaje $(2;\infty)$.