NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 121

Skan potwierdza, że $x$ stoi poza pierwiastkiem. Przekształcamy:

$$\sqrt2x-3\sqrt2<6-x \iff x(1+\sqrt2)<6+3\sqrt2.$$

Ponieważ $6+3\sqrt2=3\sqrt2(1+\sqrt2)$, otrzymujemy $x<3\sqrt2$. Zachodzi $4<3\sqrt2<5$, więc dodatnimi liczbami naturalnymi spełniającymi nierówność są dokładnie $1,2,3,4$.

Ponieważ $\sqrt{10}>1$,

$$|10-10\sqrt{10}|=10(\sqrt{10}-1).$$

Z nierówności $3<\sqrt{10}<\frac{17}{5}$ wynika

$$20<10(\sqrt{10}-1)<24.$$

Mamy $4^2=16<20$ oraz $5^2=25>24$, więc najmniejszym możliwym $n$ jest $5$.

Usuwamy niewymierność:

$$\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3.$$

Ponieważ $3<2+\sqrt3<4$, dla całkowitego $x$ warunek jest równoważny $4\le|x|\le8$. Dopuszczalne wartości bezwzględne to $4,5,6,7,8$; każdej odpowiadają dwie liczby całkowite.

Rozwijamy kwadraty:

$$\begin{aligned} &(3k-1)^2+(3k+1)^2+(3k+2)^2-3k^2\\ &=24k^2+12k+6\\ &=6(4k^2+2k+1). \end{aligned}$$

Dla $k\in\mathbb Z$ czynnik w nawiasie jest całkowity, więc liczba jest podzielna przez $6$.

Dwie kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako $2k+1$ i $2k+3$. Różnica kwadratu większej i mniejszej wynosi

$$(2k+3)^2-(2k+1)^2=8k+8=8(k+1),$$

czyli jest podzielna przez $8$.

Każda liczba nieparzysta ma postać $2k+1$, a jej kwadrat

$$(2k+1)^2=4k(k+1)+1$$

daje resztę $1$ z dzielenia przez $8$, ponieważ $k(k+1)$ jest parzyste. Każdy z czterech kwadratów daje więc resztę $1$, zatem ich suma daje resztę $1+1+1+1=4$ modulo $8$.

Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność:

$$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\cdot\frac{\sqrt a-\sqrt b}{ab} =\frac{a-b}{(a-b)ab}=\frac1{ab}.$$

Ponieważ

$$ab=(3+\sqrt2)(3-\sqrt2)=9-2=7,$$

wartość wyrażenia wynosi $\frac17$.

Skan potwierdza, że pod pierwiastkiem jest tylko liczba $2$. Nierówność jest równoważna

$$x(2-\sqrt2)\ge2.$$

Dla $x>\frac72$ mamy

$$x(2-\sqrt2)>\frac72(2-\sqrt2)=7-\frac{7\sqrt2}{2}>2,$$

bo $10>7\sqrt2$ (po podniesieniu dodatnich stron do kwadratu: $100>98$). Zatem każdy $x\in(\frac72;\infty)$ spełnia nierówność.

Pierwsza nierówność daje

$$2(1-x)<5-x\iff x>-3.$$

Druga daje

$$4x^2-4x+1\ge4x^2-7\iff x\le2.$$

Częścią wspólną jest $(-3;2]$.

Pierwsza nierówność:

$$\frac34x-\frac18\ge x-\frac54\iff x\le\frac92.$$

Druga nierówność:

$$(2-x)^2\le(x+1)^2\iff -4x+4\le2x+1\iff x\ge\frac12.$$

Zatem $\frac12\le x\le\frac92$. Liczby całkowite w tym przedziale to $1,2,3,4$.