Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 120

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 14

Tym razem trzeba sprawdzić sześć proponowanych wartości parametru a i wybrać dwie, dla których kwadrat wyrażenia z pierwiastkiem jest całkowity.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Skan strony potwierdza, że aa stoi poza pierwiastkiem. Rozwijamy więc

(26 a−2)2=24a2−83 a+2.\left(2\sqrt6\,a-\sqrt2\right)^2=24a^2-8\sqrt3\,a+2.

Dla odpowiedzi C, czyli a=332a=\frac{3\sqrt3}{2}, otrzymujemy

24⋅274−83⋅332+2=162−36+2=128.24\cdot\frac{27}{4}-8\sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{2}+2 =162-36+2=128.

Dla odpowiedzi E mamy

a=(6−2)2−8=−43,a=(\sqrt6-\sqrt2)^2-8=-4\sqrt3,

zatem wartość wyrażenia wynosi

24⋅48−83(−43)+2=1152+96+2=1250.24\cdot48-8\sqrt3(-4\sqrt3)+2=1152+96+2=1250.

Dla A, B, D i F pozostaje niezerowy składnik niewymierny, więc wynik nie jest całkowity.

Odpowiedź

C i E.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

Ten przykład pokazuje, jak ocenić dwie ogólne implikacje o porządku kwadratów i odwrotności oraz obalić fałszywe stwierdzenia kontrprzykładami.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Pierwsze zdanie jest fałszywe, np. dla p=−2p=-2, q=−1q=-1 mamy p<qp<q, ale p2=4>1=q2p^2=4>1=q^2. Drugie również jest fałszywe, np. dla p=1p=1, q=2q=2 mamy p<qp<q, lecz 1p=1>12=1q\frac1p=1>\frac12=\frac1q.

Odpowiedź

F, F.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

Twoim celem jest to, by ustalić znaki dwóch wyrażeń z pierwiastkiem z 3, usunąć wartości bezwzględne i wybrać właściwy wynik wraz z uzasadnieniem.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ponieważ 3−23<03-2\sqrt3<0 oraz 43−7<04\sqrt3-7<0, poprawne jest uzasadnienie 2. Wobec tego

∣3−23∣+∣43−7∣=23−3+7−43=4−23.|3-2\sqrt3|+|4\sqrt3-7| =2\sqrt3-3+7-4\sqrt3=4-2\sqrt3.
Odpowiedź

A2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 17

Wykorzystujemy sprzężone radikandy do obliczenia iloczynu dwóch pierwiastków oraz różnicy ich kwadratów ukrytej w drugim iloczynie.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Oba wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie, więc

ab=(5−26)(5+26)=25−24=1.ab=\sqrt{(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)}=\sqrt{25-24}=1.

Ponadto

(b+a)(b−a)=b2−a2=(5+26)−(5−26)=46.(b+a)(b-a)=b^2-a^2=(5+2\sqrt6)-(5-2\sqrt6)=4\sqrt6.
Odpowiedź

A i E.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 18

Rozwiązujemy nierówność z kwadratem dwumianu i iloczynem sprzężonych wyrażeń, redukując wspólne składniki kwadratowe.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Rozwijamy obie strony:

4x2−12x+9≤4x2−3.4x^2-12x+9\le4x^2-3.

Po redukcji wyrazów 4x24x^2 otrzymujemy

−12x≤−12  ⟺  x≥1.-12x\le-12\iff x\ge1.
Odpowiedź

[1;∞)[1;\infty).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 19

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz uprościć różnicę kwadratów dwóch wyrażeń liniowych i wypisać nieujemne liczby całkowite spełniające otrzymane ograniczenie.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystając z różnicy kwadratów, dostajemy

(4x+3)2−(4x−3)2=(6)(8x)=48x.(4x+3)^2-(4x-3)^2=(6)(8x)=48x.

Zatem 48x≤10048x\le100, czyli x≤2512x\le\frac{25}{12}. Liczby naturalne spełniające warunek to 00, 11 i 22.

Odpowiedź

0,1,20,1,2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem