NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 119

Ponieważ oba czynniki pod pierwiastkami są dodatnie,

$$a=\sqrt{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}=\sqrt{16-12}=2.$$

Natomiast

$$b=(\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3>2.$$

Liczba $a$ jest wymierna, a $b$ niewymierna, więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Drugie jest prawdziwe.

Mamy

$$b=4+2\sqrt3.$$

Ponieważ $\frac32<\sqrt3<2$, zachodzi $7<b<8$. Największą liczbą całkowitą mniejszą od $b$ jest zatem $7$.

Upraszczamy nierówność:

$$(x-3)^2-(x-1)^2=8-4x,$$

więc

$$8-4x\ge-2\iff x\le\frac52.$$

Nierówność spełniają tylko skończenie liczne liczby naturalne. Ponadto $2\sqrt3>\frac52$, więc liczba $2\sqrt3$ jej nie spełnia.

Rozwijamy oba kwadraty:

$$\left(x-\frac12y\right)^2=x^2-xy+\frac14y^2,$$ $$\left(x+\frac12y\right)^2=x^2+xy+\frac14y^2.$$

Po odjęciu otrzymujemy $-2xy$. Poprawne są zatem odpowiedź C i uzasadnienie 2.

Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$(x-4y)^2-(x+4y)^2=((x-4y)-(x+4y))((x-4y)+(x+4y))=-16xy.$$

Po podstawieniu danych:

$$-16\cdot\frac14\cdot\frac{\sqrt3}{4}=-\sqrt3.$$