NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 118

Sześciany liczb naturalnych mniejsze od $200$ to $0,1,8,27,64,125$. Spośród nich $0$, $1$ i $64$ są również kwadratami liczb naturalnych. Zatem

$$B\setminus A=\{8,27,125\}.$$

Ponieważ $3<2\sqrt3<4$, liczbami całkowitymi należącymi do przedziału $(-2\sqrt3;2\sqrt3)$ są

$$-3,-2,-1,0,1,2,3.$$

Zbiór $A$ ma więc $7$ elementów.

Dopełnienie przedziału otwartego $(-1;1)$ zawiera oba jego końce oraz wszystkie liczby leżące na zewnątrz:

$$\mathbb R\setminus(-1;1)=(-\infty;-1]\cup[1;\infty).$$

Mnożymy nierówność przez $6$:

$$3x+12<2x,$$

stąd $x<-12$.

Rozwiązujemy obie nierówności:

$$1-x\ge2\iff x\le-1,$$ $$2x+4>-6\iff x>-5.$$

Ich część wspólna to $(-5;-1]$.

Ze wzoru $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$, dla $u=a$ i $v=2b$ otrzymujemy

$$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2.$$

Rozpoznajemy kwadrat różnicy:

$$\frac{x^2}{9}-\frac23x+1 =\left(\frac{x}{3}-1\right)^2 =\left(-\frac{x}{3}+1\right)^2.$$

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$$\frac1{1-\sqrt2}\cdot\frac{1+\sqrt2}{1+\sqrt2} =\frac{1+\sqrt2}{1-2}=-1-\sqrt2.$$

Mamy $\sqrt3<4$, zatem

$$|\sqrt3-4|=4-\sqrt3\approx4-1{,}732=2{,}268.$$

Liczba ta należy do $[0;2{,}3)$.