NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 116

Oznaczmy konkursy literami: $I$ — informatyczny, $M$ — matematyczny, $F$ — fizyczny. We wszystkich trzech konkursach uczestniczyły $2$ osoby. Zatem w dokładnie dwóch konkursach uczestniczyło:

• tylko w $I$ i $F$: $5-2=3$ osoby,
• tylko w $M$ i $F$: $7-2=5$ osób,
• tylko w $I$ i $M$: $8-2=6$ osób.

Tylko w konkursie matematycznym uczestniczyło więc

$$15-5-6-2=2$$

uczniów. Skoro dokładnie w jednym konkursie brało udział $12$ osób, a tylko w konkursie informatycznym

$$20-3-6-2=9$$

osób, to tylko w konkursie fizycznym była

$$12-9-2=1$$

osoba.

Liczba wszystkich uczestników co najmniej jednego konkursu wynosi

$$9+2+1+3+5+6+2=28.$$

W konkursie fizycznym, ale nie informatycznym, uczestniczyli uczniowie z części „tylko $F$” oraz „tylko $M$ i $F$”, czyli

$$1+5=6.$$

Łącznie odnotowano

$$23+10+21=54$$

poprawnie rozwiązane zadania. Każdy uczeń rozwiązał dokładnie dwa zadania, więc każdy został policzony dwukrotnie. Liczba uczniów to zatem

$$54:2=27.$$

Niech $n\in\mathbb N$, $n\geq1$, oznacza liczbę godzin parkowania. Opłata na parkingu $A$ wynosi

$$5+3(n-1)=3n+2,$$

a na parkingu $B$

$$3{,}90+3{,}20(n-1)=3{,}20n+0{,}70.$$

Na parkingu $B$ zapłacono by więcej, gdy

$$3{,}20n+0{,}70>3n+2,$$

czyli $0{,}20n>1{,}30$, a zatem $n>6{,}5$. Najmniejszą całkowitą liczbą godzin spełniającą ten warunek jest $7$.

Dla danej długości trasy wybieramy liczbę naturalną $k$ tak, aby długość należała do $[k,k+1)$, a następnie obliczamy $8+2{,}4k$.

a) $4{,}5\in[4,5)$, więc $8+2{,}4\cdot4=17{,}60$ zł.
b) $12{,}9\in[12,13)$, więc $8+2{,}4\cdot12=36{,}80$ zł.
c) $12{,}1\in[12,13)$, więc opłata również wynosi $36{,}80$ zł.
d) $6\in[6,7)$, więc $8+2{,}4\cdot6=22{,}40$ zł.

Układ figury i jej oznaczenia nie zachowały się w warstwie tekstowej, dlatego odczytujemy je ze skanu strony 116. Rabata powstaje z kwadratu o boku $2x+2$ przez usunięcie czterech narożnych kwadratów o bokach $x-1$, $x-2$, $x-3$ i $x-4$. Jej pole jest więc równe

$$\begin{aligned} P={}&(2x+2)^2-(x-1)^2-(x-2)^2-(x-3)^2-(x-4)^2\\ ={}&(4x^2+8x+4)-(4x^2-20x+30)\\ ={}&28x-26. \end{aligned}$$

Dla $x=11$ otrzymujemy

$$P=28\cdot11-26=308-26=282\ \mathrm{m}^2.$$