NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 115 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Skupiamy się na tym, jak w trzech zestawach zapisać jawnie zbiory X, Y i T oraz wskazać parę mającą dokładnie te same elementy.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}=T$ , natomiast $Y=\{-2,-1,0,1,2\}$ . Zatem $X=T$ .
b) $X=(2,7]$ oraz $Y=(2,7]$ , natomiast $T$ nie zawiera $4$ . Zatem $X=Y$ .
c) Przy $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ zarówno $X$ , jak i $Y$ są równe $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . Zbiór $T$ zawiera ponadto liczby od $8$ wzwyż, więc $X=Y$ .

Odpowiedź

a) $X=T$ , b) $X=Y$ , c) $X=Y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Należy tutaj dla trzech par zbiorów opisanych nierównościami ustalić, czy jeden jest podzbiorem drugiego, czy nie zachodzi żadna inkluzja.

3 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $A=(-2,0)\cup(0,2)$ , a $B=(-\infty,4]\cup[6,\infty)$ . Każdy element $A$ należy do $B$ , więc $A\subset B$ .
b) $A=(-\infty,-4]\cup[2,\infty)$ , a $B=(-\infty,-5)\cup(11,\infty)$ . Zatem $B\subset A$ .
c) Skan potwierdza warunek $1\le|x|\le3$ (OCR zgubił znak równości). Stąd $A=[-3,-1]\cup[1,3]$ , natomiast $B=\{x:|x-5|<8\}=(-3,13)$ . Punkt $-3$ należy do $A$ , lecz nie do $B$ , a np. $4$ należy do $B$ , lecz nie do $A$ . Nie zachodzi żadna z inkluzji.

Odpowiedź

a) $A\subset B$ .
b) $B\subset A$ .
c) Żadna z zależności nie jest prawdziwa.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 3

Liczymy tu osiem iloczynów i kombinacji kwadratów wyrażeń z pierwiastkami, rozwijając nawiasy oraz upraszczając radikandy.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy i upraszczamy pierwiastki.

a) $-2+2\sqrt3$ .
b) $8+7\sqrt6$ .
c) $-24+6\sqrt2$ .
d) $40-22\sqrt5$ .
e) Wyrazy mieszane redukują się; wynik $2(12+2)=28$ .
f) Różnica kwadratów sumy i różnicy daje $4\cdot\sqrt6\cdot2\sqrt3=24\sqrt2$ .
g) Pierwszy kwadrat to $8+4\sqrt3$ , a odejmowany iloczyn to $4$ ; wynik $4+4\sqrt3$ .
h) Skrajne czynniki dają $4$ , a środkowy kwadrat $12-4\sqrt5$ ; wynik $48-16\sqrt5$ .

Odpowiedź

a) $-2+2\sqrt3$ , b) $8+7\sqrt6$ , c) $-24+6\sqrt2$ , d) $40-22\sqrt5$ , e) $28$ , f) $24\sqrt2$ , g) $4+4\sqrt3$ , h) $48-16\sqrt5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Głównym celem jest to, by rozwiązać sześć układów po dwie nierówności algebraiczne i podać część wspólną rozwiązań jako przedziały.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy każdą parę nierówności i przecinamy otrzymane zbiory.

a) Pierwsza daje $x>\frac27$ , druga $x\le1$ , więc $(\frac27,1]$ .
b) Pierwsza daje $x\le\frac92$ , druga $x\ge\frac12$ , więc $[\frac12,\frac92]$ .
c) Pierwsza daje $x<6$ , druga $x\le\frac34$ , więc $(-\infty,\frac34]$ .
d) Pierwsza daje $x\le-\frac65$ , a druga $x\ge6$ ; część wspólna jest pusta.
e) Pierwsza daje $x<\frac72$ , druga $x<8$ , więc $(-\infty,\frac72)$ .
f) Pierwsza daje $x<1$ , druga $x\le1$ , więc $(-\infty,1)$ .

Odpowiedź

a) $(\frac27,1]$ , b) $[\frac12,\frac92]$ , c) $(-\infty,\frac34]$ , d) $\varnothing$ , e) $(-\infty,\frac72)$ , f) $(-\infty,1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Pracujemy tutaj nad tym, jak opisać cztery obszary wyznaczone wartościami bezwzględnymi współrzędnych i policzyć leżące w nich punkty kratowe.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy niezależnie dopuszczalne całkowite wartości $x$ i $y$ , a następnie mnożymy liczby możliwości.

a) $x\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ — $7$ możliwości, $y\in\{-2,-1,0,1,2\}$ — $5$ ; razem $7\cdot5=35$ .
b) $x\in\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\}$ — $8$ , a $y=0$ — $1$ ; razem $8$ .
c) $x\in\{-2,-1,1,2\}$ — $4$ , a $y\in\{-3,-2,-1,1,2,3\}$ — $6$ ; razem $24$ .
d) Nie istnieje całkowite $y$ spełniające $1<|y|<2$ , więc wynik wynosi $0$ .

Odpowiedź

a) $35$ , b) $8$ , c) $24$ , d) $0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

W ramach ćwiczenia trzeba porównać reszty kwadratów modulo 4 i 5, a następnie znaleźć pary różnych reszt dających ten sam wynik po podniesieniu do kwadratu.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Zapiszmy $p=4m+1$ , $q=4n+3$ . Wtedy

p^2=4(4m^2+2m)+1,\qquad q^2=4(4n^2+6n+2)+1.

Oba kwadraty dają więc resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$ .

b) Reszty modulo $5$ i reszty ich kwadratów to:

0\mapsto0,\quad1\mapsto1,\quad2\mapsto4,\quad 3\mapsto4,quad4\mapsto1.

Równe reszty kwadratów dla różnych $k<l$ występują dla par $(1,4)$ oraz $(2,3)$ .

Odpowiedź

a) Obie reszty są równe $1$ .
b) $(k,l)=(1,4)$ lub $(k,l)=(2,3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem