NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

Stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń. Liczba studentów znających co najmniej jeden język wynosi

$$90+81+75-45-25-20+4=160.$$

Zatem żadnego z tych języków nie zna

$$180-160=20$$

studentów.

Przyjmujemy $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$, więc $A=\{0,1,\ldots,14\}$. W tym zakresie wielokrotności $3$ to $0,3,6,9,12$, a liczby dające resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$ to $1,5,9,13$.

Wykonując wskazane działania, otrzymujemy:

a) $\{0,3,6,9,12\}$.
b) $\{0,1,4,6,8,9,10,12,14\}$.
c) $\{3\}$.
d) $\{1,4,8,10,14\}$.
e) $\{1,5,13\}$.
f) $\{1,2,4,5,7,8,9,10,11,13,14\}$.

Porównujemy końce i domknięcia przedziałów.

a) $A\cap B=(2,4]$, $A\cup B=[-1,5)$, $A\setminus B=[-1,2]$, $B\setminus A=(4,5)$.
b) $B\subset A$, więc $A\cap B=(3,5]$, $A\cup B=[2,7)$, $A\setminus B=[2,3]\cup(5,7)$, $B\setminus A=\varnothing$.
c) Zbiory mają wspólny tylko punkt $2$: $A\cap B=\{2\}$, $A\cup B=[-4,9)$, $A\setminus B=[-4,2)$, $B\setminus A=(2,9)$.
d) $A\cap B=\{0\}\cup(1,2)$, $A\cup B=(-\infty,4]$, $A\setminus B=(-\infty,0)$, $B\setminus A=(0,1]\cup[2,4]$.
e) $A\cap B=(-2,-1)\cup[3,4)$, $A\cup B=(-\infty,5]$, $A\setminus B=(-\infty,-2]\cup[4,5]$, $B\setminus A=[-1,3)$.
f) $A\cap B=[0,2]$, $A\cup B=(-1,5)\cup(5,\infty)$, $A\setminus B=(-1,0)\cup(5,\infty)$, $B\setminus A=(2,5)$.

Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego i redukujemy wyrazy podobne.

a) $a^2+2ab+a-4b-6$.
b) $4a^2-8ab+3b^2+2ac-3bc$.
c) $2a^2+ab-6b^2-6ac+9bc$.
d) $-8x^4+20x^2y-8y^2$.
e) $-18x^5+24x^3y-8xy^2$.
f) Najpierw $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, więc wynik to $x^4-y^4$.

Szukamy kolejnych liczb całkowitych ograniczających $x$.

a) $2^3<17<3^3$, więc $2<\sqrt[3]{17}<3$ i $k=2$.
b) $(-3)^3<-25<(-2)^3$, więc $-3<\sqrt[3]{-25}<-2$ i $k=-3$.
c) $0<3-2\sqrt2<1$, więc $0<(3-2\sqrt2)^2<1$ i $k=0$.
d) $9<27-10\sqrt2<16$, zatem $3<\sqrt{27-10\sqrt2}<4$ i $k=3$.

Przyjmujemy $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$.

a) Nierówność upraszcza się do $x<\frac{15}{2}$, więc pasuje $0,1,\ldots,7$ — $8$ liczb.
b) Otrzymujemy $x\le\frac{29}{4}$, więc znów pasuje $0$–$7$ — $8$ liczb.
c) Otrzymujemy $x\le\frac{37}{17}$, więc pasują $0,1,2$ — $3$ liczby.
d) Otrzymujemy $x<\frac{69}{16}$, więc pasują $0,1,2,3,4$ — $5$ liczb.

Bierzemy część wspólną rozwiązań obu nierówności.

a) $|x|>1$ oraz $|x|\le9$ dają $[-9,-1)\cup(1,9]$.
b) $|x|\ge2$ oraz $|x-2|<4$, czyli $(( -\infty,-2]\cup[2,\infty))\cap(-2,6)=[2,6)$.
c) $|x|<4$ oraz $|x+1|\ge2$ dają $(-4,4)\cap(( -\infty,-3]\cup[1,\infty)) =(-4,-3]\cup[1,4)$.

Najpierw zapisujemy

$$A=(-1,7),\quad B=(-\infty,-5]\cup[1,\infty),\quad C=(-\infty,-3]\cup[3,\infty).$$

Następnie wykonujemy działania:

a) $A\cap B=[1,7)$.
b) $A\setminus B=(-1,1)$.
c) $B\setminus A=(-\infty,-5]\cup[7,\infty)$.
d) $(A\cup C)\setminus B=(-5,-3]\cup(-1,1)$.
e) $(A\setminus B)\cup C=(-\infty,-3]\cup(-1,1)\cup[3,\infty)$.