NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 113

Sprawdzamy cztery możliwe pary wartości $p,q$:

Ostatnia kolumna ma zawsze wartość $1$.

a) Dla $p=1$ mamy $0\lor1=1$, a dla $p=0$ — $1\lor0=1$.
b) Podwójna negacja ma zawsze tę samą wartość co $p$, więc równoważność ma wartość $1$.
c) $p\land\sim p$ jest zawsze fałszywe, zatem jego negacja jest zawsze prawdziwa.
d) Dla kolejnych par $(p,q)=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)$ wartość całej implikacji wynosi $1,1,1,1$.
e) Implikacja $p\Rightarrow q$ oraz jej kontrapozycja $\sim q\Rightarrow\sim p$ mają dla tych czterech par te same wartości $1,0,1,1$, więc ich równoważność jest zawsze prawdziwa.
f) Zarówno $\sim(p\Rightarrow q)$, jak i $p\land\sim q$ są prawdziwe wyłącznie dla $(p,q)=(1,0)$; równoważność ma więc zawsze wartość $1$.

a) Nie jest prawem. Dla $p=1,q=0$ poprzednik ma wartość $1$, a następnik $0$, więc cała implikacja jest fałszywa.
b) Jest prawem (modus tollens): z $p\Rightarrow q$ i $\sim q$ wynika $\sim p$.
c) Jest prawem, bo poprzednik upraszcza się do $p\land\sim q$ i zawsze pociąga za sobą $\sim q$.
d) Jest prawem — to przechodniość implikacji.
e) Nie jest prawem. Dla $p=0,q=1,r=0$ poprzednik jest prawdziwy, a $q\Rightarrow r$ fałszywe.
f) Jest prawem: obie strony równoważności są fałszywe tylko wtedy, gdy $p=q=1$ i $r=0$, a w pozostałych przypadkach prawdziwe.