NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 109 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Rozwiązujemy sześć równań z wartością bezwzględną wyrażenia liniowego, rozpatrując dwie możliwe wartości jego wnętrza.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy równania do postaci $|u|=c$ , a następnie przyjmujemy $u=c$ lub $u=-c$ .

a) $|x-4|=2$ , więc $x=2$ lub $x=6$ .
b) $4x+2=\pm6$ , więc $x=-2$ lub $x=1$ .
c) $\frac12x-1=\pm3$ , więc $x=-4$ lub $x=8$ .
d) $\frac23x+4=\pm2$ , więc $x=-9$ lub $x=-3$ .
e) $|x-10|=4$ , więc $x=6$ lub $x=14$ .
f) $1-3x=\pm6$ , więc $x=-\frac53$ lub $x=\frac73$ .

Odpowiedź

a) $2,6$ ; b) $-2,1$ ; c) $-4,8$ ; d) $-9,-3$ ; e) $6,14$ ; f) $-\frac53,\frac73$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Rozwiązujemy dziewięć nierówności liniowych z wartością bezwzględną, w tym przypadki z zerową lub ujemną granicą.

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $|x+2|\le4$ , więc $x\in[-6,2]$ .
b) $|x-3|\ge2$ , więc $x\le1$ lub $x\ge5$ .
c) $|x+\frac14|>1$ , więc $x<-\frac54$ lub $x>\frac34$ .
d) $|x-6|<3$ , więc $x\in(3,9)$ .
e) $|x+4|\ge2$ , więc $x\le-6$ lub $x\ge-2$ .
f) $|5x+3|<1$ , więc $x\in(-\frac45,-\frac25)$ .
g) Wartość bezwzględna ma być równa $0$ , więc $x=2$ .
h) Wartość bezwzględna ma być dodatnia, więc $x\ne-11$ .
i) $|x-3|\ge-1$ jest prawdziwe dla każdego $x$ .

Odpowiedź

a) $[-6,2]$ .
b) $(-\infty,1]\cup[5,\infty)$ .
c) $(-\infty,-\frac54)\cup(\frac34,\infty)$ .
d) $(3,9)$ .
e) $(-\infty,-6]\cup[-2,\infty)$ .
f) $(-\frac45,-\frac25)$ .
g) $\{2\}$ .
h) $\mathbb R\setminus\{-11\}$ .
i) $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Rozwiązujemy sześć równań z pierwiastkiem z trójmianu będącego pełnym kwadratem, przechodząc do wartości bezwzględnej.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy $\sqrt{u^2}$ na $|u|$ .

a) $|x+5|=5$ , więc $x=-10$ lub $x=0$ .
b) $|3-x|=2$ , więc $x=1$ lub $x=5$ .
c) $|x-1|=1$ , więc $x=0$ lub $x=2$ .
d) $|2x+1|=3$ , więc $x=-2$ lub $x=1$ .
e) $|x+\frac12|=4$ , więc $x=-\frac92$ lub $x=\frac72$ .
f) $|3x-2|=6$ , więc $x=-\frac43$ lub $x=\frac83$ .

Odpowiedź

a) $-10,0$ ; b) $1,5$ ; c) $0,2$ ; d) $-2,1$ ; e) $-\frac92,\frac72$ ; f) $-\frac43,\frac83$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Najważniejsze jest, aby uprościć pierwiastkowe prawe strony dwóch nierówności, a następnie wyznaczyć przedział lub stwierdzić ich tożsamościowość.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

b) Prawa strona jest równa $(2\sqrt3-3)-(2\sqrt3-2)=-1$ . Ponieważ $|x+1|\ge0>-1$ , nierówność zachodzi dla każdego $x$ .

Odpowiedź

a) $[-\sqrt2,\sqrt2]$ .
b) $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Rozwiązujemy cztery równania typu wartość bezwzględna równa wyrażeniu ze znakiem, ustalając odpowiedni warunek na x.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z równoważności $|u|=u\iff u\ge0$ oraz $|u|=-u\iff u\le0$ .

a) $x-3\ge0$ , więc $x\ge3$ .
b) $3x-6\le0$ , więc $x\le2$ .
c) $x+\sqrt2\le0$ , więc $x\le-\sqrt2$ .
d) $|x-2|=x-2$ , więc $x\ge2$ .

Odpowiedź

a) $[3,\infty)$ , b) $(-\infty,2]$ , c) $(-\infty,-\sqrt2]$ , d) $[2,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Sedno zadania polega na tym, by dla ujemnego x uprościć trzy wyrażenia z pierwiastkami kwadratów, wykorzystując znaki x, x minus 2 i x minus 3.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $x<0$ mamy $|x|=-x$ , a także $x-2<0$ i $x-3<0$ .

a) $\sqrt{x^2}+x=|x|+x=-x+x=0$ .
b) $|x-3|-|x|=(3-x)-(-x)=3$ .
c) $|x-2|+x=(2-x)+x=2$ .

Odpowiedź

a) $0$ , b) $3$ , c) $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Spróbujmy tutaj geometrycznie opisać liczby leżące bliżej a niż b i wykazać, że granicą rozwiązania jest środek między tymi punktami.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkt $m=\frac{a+b}{2}$ jest środkiem odcinka $[a,b]$ . Dla $x<m$ punkt $x$ leży bliżej $a$ niż $b$ , a dla $x=m$ odległości są równe. Można to także sprawdzić algebraicznie. Obie strony są nieujemne, więc

|x-a|<|x-b| \iff(x-a)^2<(x-b)^2.

Po rozwinięciu:

2(b-a)x<(b-a)(a+b).

Ponieważ $b-a>0$ , dzielimy przez ten czynnik i dostajemy $x<\frac{a+b}{2}$ .

Odpowiedź

$x\in(-\infty,\frac{a+b}{2})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 8

Podczas tego ćwiczenia trzeba po ustaleniu znaków składników wykazać stałość dwóch wyrażeń z wartościami bezwzględnymi na zadanych półprostych.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla $x\ge2$ mamy $|-x|=x$ , $|2-x|=x-2$ i $|3-2x|=2x-3$ . Zatem

x+(x-2)-(2x-3)=1.

b) Dla $x\le-3$ mamy $\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|=-x-3$ , $|-x|=-x$ oraz $|-2x-6|=-2x-6$ . Stąd

(-x-3)+(-x)-(-2x-6)=3.

Odpowiedź

a) Stała wartość wynosi $1$ .
b) Stała wartość wynosi $3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 9

Udowadniamy tożsamość pierwiastkową dla nieujemnych a i b przez rozpoznanie kwadratów sumy oraz różnicy ich pierwiastków.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $a,b\ge0$ ,

a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2,\qquad a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt b-\sqrt a)^2.

Założenie $a\le b$ daje $\sqrt b-\sqrt a\ge0$ . Zatem lewa strona równości jest równa

(\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt b-\sqrt a)=2\sqrt a.

Odpowiedź

Równość zachodzi dla wszystkich $0\le a\le b$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu