NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 105 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Zadanie sprawdza, czy potrafisz dla czterech podanych wartości rozstrzygnąć znak x, poprawnie usunąć moduł i obliczyć oba wyrażenia x plus moduł x oraz x minus dwa moduły x.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ustalamy znak $x$ . Gdy $x<0$ , mamy $|x|=-x$ , a gdy $x\ge0$ , $|x|=x$ .

a) $x=-3<0$ : $x+|x|=0$ , $x-2|x|=-9$ .
b) $4-2\sqrt6<0$ : $x+|x|=0$ , a $x-2|x|=3x=12-6\sqrt6$ .
c) $6\sqrt2-8>0$ : $x+|x|=2x=12\sqrt2-16$ , a $x-2|x|=-x=8-6\sqrt2$ .
d) $\pi-2\sqrt3<0$ : $x+|x|=0$ , a $x-2|x|=3x=3\pi-6\sqrt3$ .

Odpowiedź

a) $0$ i $-9$ .
b) $0$ i $12-6\sqrt6$ .
c) $12\sqrt2-16$ i $8-6\sqrt2$ .
d) $0$ i $3\pi-6\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Rozwiązujemy osiem równań z wartością bezwzględną, sprowadzając każde do warunku na odległość liczby x od zera.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każde równanie do postaci $|x|=c$ .

a) $|x|=4$ , więc $x=\pm4$ .
b) $|x|=14$ , więc $x=\pm14$ .
c) $|x|=6$ , więc $x=\pm6$ .
d) $|x|=\frac14$ , więc $x=\pm\frac14$ .
e) $|x|=\frac13$ , więc $x=\pm\frac13$ .
f) $|x|=8$ , więc $x=\pm8$ .
g) $|x|=1$ , więc $x=\pm1$ .
h) $|x|=4$ , więc $x=\pm4$ .

Odpowiedź

a) $x=\pm4$ , b) $x=\pm14$ , c) $x=\pm6$ , d) $x=\pm\frac14$ , e) $x=\pm\frac13$ , f) $x=\pm8$ , g) $x=\pm1$ , h) $x=\pm4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Ćwiczymy tutaj, jak rozpoznać, które nierówności z wartością bezwzględną są zawsze prawdziwe, a które nie mają żadnego rozwiązania.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $|x|\ge0$ dla każdego $x$ :

a) $|x|>-7$ jest tożsamościowa, natomiast $|x|<-7$ jest sprzeczna.
b) $|x|\ge-3$ jest tożsamościowa, natomiast $|x|\le-3$ jest sprzeczna.

Odpowiedź

Tożsamościowe: $|x|>-7$ i $|x|\ge-3$ .
Sprzeczne: $|x|<-7$ i $|x|\le-3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

W tym zadaniu należy rozwiązać osiem dwustronnych nierówności z wartością bezwzględną, zapisać dwa symetryczne przedziały i policzyć liczby całkowite.

8 podpunktów

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Warunek $a<|x|<b$ daje dwa symetryczne przedziały: $(-b,-a)\cup(a,b)$ , z odpowiednim domknięciem granic.

a) $(-4,-1)\cup(1,4)$ ; liczby całkowite: $-3,-2,2,3$ — $4$ .
b) $(-6,0)\cup(0,6)$ ; po pięć niezerowych liczb całkowitych po każdej stronie — $10$ .
c) $[-5,-2]\cup[2,5]$ — $8$ liczb całkowitych.
d) $[-\pi,-3]\cup[3,\pi]$ — tylko $-3,3$ , czyli $2$ .
e) $(-3,-\frac12]\cup[\frac12,3)$ — $-2,-1,1,2$ , czyli $4$ .
f) $[-6,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,6]$ — $10$ liczb całkowitych.
g) $[-\frac92,-\frac52]\cup[\frac52,\frac92]$ — $4$ liczby.
h) $(-5,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,5)$ — $6$ liczb.

Odpowiedź

a) $(-4,-1)\cup(1,4)$ , $4$ .
b) $(-6,0)\cup(0,6)$ , $10$ .
c) $[-5,-2]\cup[2,5]$ , $8$ .
d) $[-\pi,-3]\cup[3,\pi]$ , $2$ .
e) $(-3,-\frac12]\cup[\frac12,3)$ , $4$ .
f) $[-6,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,6]$ , $10$ .
g) $[-\frac92,-\frac52]\cup[\frac52,\frac92]$ , $4$ .
h) $(-5,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,5)$ , $6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 5

Upraszczamy dwie sumy pierwiastków z kwadratów, zamieniając je na wartości bezwzględne i ustalając znaki wyrażeń z pierwiastkami.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$ .

Odpowiedź

a) $5-2\sqrt5$ , b) $\sqrt2-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Uzasadniamy cztery równości przez rozpoznanie pod każdym pierwiastkiem kwadratu dwumianu i użycie wartości bezwzględnej.

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie wyrażenie pod pierwiastkiem jest kwadratem:

a) $(\sqrt2-2)^2=6-4\sqrt2$ .
b) $(\sqrt3-2)^2=7-4\sqrt3$ .
c) $(2-2\sqrt5)^2=24-8\sqrt5$ .
d) $(3-2\sqrt3)^2=21-12\sqrt3$ .

Zatem po spierwiastkowaniu otrzymujemy odpowiednio wartości bezwzględne podane po prawej stronie każdej równości.

Odpowiedź

Wszystkie cztery równości są prawdziwe na mocy wzoru $\sqrt{u^2}=|u|$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 7

Dopasowujemy trzy zaznaczone obszary układu współrzędnych do warunków ograniczających bezwzględne wartości x oraz y.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

A jest środkowym prostokątem: $|x|\le2$ i $|y|\le1$ , więc pasuje warunek III.
B obejmuje obszary na lewo i prawo od pasa $|x|<2$ , ale tylko dla $|y|\le1$ , więc pasuje I.
C leży jednocześnie poza pionowym pasem $|x|<2$ i poziomym pasem $|y|<1$ , więc pasuje II.

Odpowiedź

A–III, B–I, C–II.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Rysujemy trzy zbiory punktów opisane parami nierówności z wartościami bezwzględnymi obu współrzędnych.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy warunki z wartościami bezwzględnymi na zakresy współrzędnych.

a) $-5\le x\le5$ i $-1\le y\le1$ : domknięty prostokąt.
b) $-3\le x\le3$ oraz $y\le-2$ lub $y\ge2$ : dwie nieograniczone półwstęgi, poniżej i powyżej środkowego pasa.
c) $x\in[-3,-1]\cup[1,3]$ oraz $-4\le y\le4$ : dwa domknięte prostokąty po obu stronach osi $OY$ .

Odpowiedź

a) $[-5,5]\times[-1,1]$ .
b) $[-3,3]\times\bigl(( -\infty,-2]\cup[2,\infty)\bigr)$ .
c) $\bigl([-3,-1]\cup[1,3]\bigr)\times[-4,4]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem