Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 102

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodach” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

Spróbujmy tutaj rozłożyć dwie różnice wysokich potęg na czynniki i na tej podstawie dowieść ich podzielności odpowiednio przez 280 oraz 72.

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Wielokrotnie stosujemy różnicę kwadratów.

a) W rozkładzie

1916−916=(198−98)(198+98)19^{16}-9^{16} =(19^8-9^8)(19^8+9^8)

pierwszy czynnik rozkłada się dalej, aż pojawi się czynnik

192−92=(19−9)(19+9)=10⋅28=280.19^2-9^2=(19-9)(19+9)=10\cdot28=280.

Pozostałe czynniki są całkowite, więc cała liczba jest podzielna przez 280280.

b) Analogicznie rozkład liczby 1132−73211^{32}-7^{32} zawiera czynnik

112−72=(11−7)(11+7)=4⋅18=72.11^2-7^2=(11-7)(11+7)=4\cdot18=72.

Pozostałe czynniki są całkowite, więc cała liczba jest podzielna przez 7272.

Odpowiedź

a) 280∣(1916−916)280\mid(19^{16}-9^{16}).
b) 72∣(1132−732)72\mid(11^{32}-7^{32}).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 2

Podczas tego ćwiczenia trzeba dla dodatnich a i b algebraicznie porównać średnią harmoniczną ze średnią arytmetyczną i geometryczną, sprowadzając różnice do kwadratów.

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla a,b>0a,b>0 lewa strona obu nierówności jest równa 2aba+b\frac{2ab}{a+b}.

a)

2aba+b≤a+b2  ⟺  4ab≤(a+b)2  ⟺  (a−b)2≥0.\frac{2ab}{a+b}\le\frac{a+b}{2} \iff4ab\le(a+b)^2 \iff(a-b)^2\ge0.

b)

2aba+b≤ab  ⟺  2ab≤a+b  ⟺  (a−b)2≥0.\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab} \iff2\sqrt{ab}\le a+b \iff(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0.

Ostatnie nierówności są zawsze prawdziwe.

Odpowiedź

Obie nierówności zachodzą dla wszystkich a,b>0a,b>0; równość występuje, gdy a=ba=b.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

Analizujemy tutaj, jak przez grupowanie i uzupełnianie do kwadratów dowieść nieujemności dwóch wyrażeń kwadratowych dla dowolnych x i y.

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Przekształcamy lewe strony do sum kwadratów.

a)

y2+2x2−2xy−6x+9=(y−x)2+(x−3)2≥0.y^2+2x^2-2xy-6x+9=(y-x)^2+(x-3)^2\ge0.

b) Po przeniesieniu prawej strony na lewą:

5x2+y2+4−4xy−4x=(y−2x)2+(x−2)2≥0.5x^2+y^2+4-4xy-4x=(y-2x)^2+(x-2)^2\ge0.

Każda suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna.

Odpowiedź

Obie nierówności są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych x,yx,y.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu