NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 101

Racjonalizujemy mianowniki przez pomnożenie przez wyrażenie sprzężone, a następnie oceniamy znak i przybliżoną wielkość wyniku.

a) $\frac{\sqrt3-1}{2}\in(0,4)$.
b) $\frac{3+\sqrt2}{7}\in(0,4)$.
c) $3\sqrt5-6\in(0,4)$.
d) $-\frac{4\sqrt2+2}{7}<0$.
e) $4\sqrt3-6\in(0,4)$.
f) $12\sqrt2+16>4$.
g) $\sqrt6+\sqrt5>4$.
h) $2\sqrt5-2\sqrt3\in(0,4)$.
i) $2\sqrt7+2\sqrt2>4$.
j) $\sqrt6-2\in(0,4)$.
k) $-\frac{\sqrt3+3\sqrt2}{5}<0$.
l) $\frac{1+2\sqrt2}{7}\in(0,4)$.

a) $x^2-25=x^2-100x$, więc $x=\frac14$.
b) Po zastosowaniu różnicy kwadratów: $\frac{80}{9}-\frac{20}{3}x=\frac29$, stąd $x=\frac{13}{10}$.
c) Ponieważ $4(\frac12x-3)^2=(x-6)^2$, obie strony są identyczne; rozwiązaniem jest każde $x\in\mathbb R$.
d) Lewa strona upraszcza się do $20x+15$, a prawa to $20x+10$; równanie jest sprzeczne.
e) $36-\frac{x^2}{9}+(\frac{x}{3}-4)^2=4$, czyli $52-\frac83x=4$, zatem $x=18$.
f) W skanie czynnik ma postać $(1-\sqrt2\,x)^2$. Po rozwinięciu wyrazy z $x^2$ redukują się i zostaje $17-16\sqrt2x=1$, więc $x=\frac{\sqrt2}{2}$.

a) $11-4x\ge2\iff x\le\frac94$.
b) Po rozwinięciu obie strony różnią się stałą $8$, więc nierówność jest prawdziwa dla każdego $x\in\mathbb R$.
c) Skan potwierdza zapis $\sqrt2\,x$. Otrzymujemy $(8+4\sqrt2)x+4\ge0$, czyli $x\ge\frac{\sqrt2}{2}-1$.
d) $36x-37\le11\iff x\le\frac43$.
e) $x+\frac{17}{4}\ge0\iff x\ge-\frac{17}{4}$.
f) $\frac{x^2}{2}-1<\frac{x^2-2x+1}{2}\iff x<\frac32$.

Na osi dla nierówności nieostrych zaznaczamy punkt końcowy pełnym kółkiem, a dla f) punkt $\frac32$ kółkiem pustym; w b) zaznaczamy całą oś.

Rozwiązujemy obie nierówności i bierzemy część wspólną zbiorów.

a) Pierwsza daje $x>0$, druga $x<\frac32$; zatem $(0,\frac32)$.
b) Otrzymujemy $x>-5$ oraz $x\le2$; zatem $(-5,2]$.
c) Otrzymujemy $x<\frac83$ oraz $x>\frac18$; zatem $(\frac18,\frac83)$.
d) Otrzymujemy $x\le5$ oraz $x>\frac32$; zatem $(\frac32,5]$.

Skan potwierdza, że każdy mianownik jest sumą dwóch pierwiastków. Racjonalizujemy pojedynczy składnik:

Suma teleskopuje:

Dobieramy czynnik tak, aby iloczyn z mianownikiem był wymierny.

a) Ponieważ $(\sqrt2+\sqrt3-1)(\sqrt2+\sqrt6-2)=4$, mamy

b) Iloczyn $(1-\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt6-\sqrt2+2)=4$, więc

c) Najpierw mnożymy przez $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$:

Dla każdego $x\in\mathbb R$ zachodzi $\sqrt{1+x^2}>|x|$, więc mianownik jest dodatni. Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone:

Oznaczmy $\varphi=\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}$. Bezpośrednie obliczenie daje $\varphi^2=\varphi+1$. Ponieważ $x,y\ne0$,