MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 99

Rozpatrujemy przekrój klocka prostopadły do krawędzi długości $50$ cm. Ma on wymiary $30\times18$ cm. Równoległe linie podziału wyznaczają w nim cztery figury o polach:

[ P_1=\frac12\cdot10\cdot6=30, ]

[ P_2=10\cdot6+\frac12\cdot10\cdot6=90, ]

[ P_3=20\cdot6+\frac12\cdot10\cdot6=150, ]

[ P_4=\frac12\cdot30\cdot18=270 ]

w centymetrach kwadratowych. Kontrola: $30+90+150+270=540=30\cdot18$. Każda część jest graniastosłupem o wysokości $50$ cm, zatem jej objętość otrzymujemy przez pomnożenie odpowiedniego pola przez $50$.

Jeden stopień ma kształt graniastosłupa o trójkątnej podstawie z przyprostokątnymi $25$ cm i $20$ cm oraz wysokości $1{,}2$ m $=120$ cm. Jego objętość wynosi

[ V_1=\frac12\cdot25\cdot20\cdot120=30,000\ \mathrm{cm}^3 =0{,}03\ \mathrm{m}^3. ]

Dla $15$ stopni otrzymujemy $15\cdot0{,}03=0{,}45\ \mathrm{m}^3$.

Trzeci bok podstawy wyznaczamy z twierdzenia cosinusów:

[ c^2=(3a)^2+(a\sqrt3)^2-2\cdot3a\cdot a\sqrt3\cos30^\circ =3a^2, ]

więc $c=a\sqrt3$. Pole podstawy i jej obwód są równe

[ P_p=\frac12\cdot3a\cdot a\sqrt3\sin30^\circ =\frac{3\sqrt3}{4}a^2, \qquad L=a(3+2\sqrt3). ]

Z warunku $P_c=2P_b$ oraz $P_c=2P_p+P_b$ wynika $P_b=2P_p$. Zatem

[ LH=\frac{3\sqrt3}{2}a^2, \qquad H=\frac{3\sqrt3a}{2(3+2\sqrt3)}. ]

Objętość jest równa

[ V=P_pH =\frac{27a^3}{8(3+2\sqrt3)} =\frac98(2\sqrt3-3)a^3. ]

Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $H$. Dwie przekątne sąsiednich ścian, poprowadzone z jednego wierzchołka, mają długość $\sqrt{b^2+H^2}$. Ich składowe w płaszczyźnie podstawy tworzą kąt $60^\circ$, więc iloczyn skalarny daje

[ \cos45^\circ =\frac{H^2+b^2\cos60^\circ}{H^2+b^2} =\frac{H^2+\frac12b^2}{H^2+b^2}. ]

Po rozwiązaniu równania otrzymujemy

[ H^2=\frac{b^2}{\sqrt2}, \qquad H=\frac{b}{\sqrt[4]{2}}. ]

Pole równobocznej podstawy wynosi $\frac{b^2\sqrt3}{4}$, zatem

[ V=\frac{b^3\sqrt3}{4\sqrt[4]{2}}. ]

Niech $a$ oznacza bok rombu, a $H$ wysokość graniastosłupa. Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątną ściany bocznej mamy

[ a=d\cos\beta, \qquad H=d\sin\beta. ]

Pole rombu wynosi $a^2\sin\alpha$, zatem

[ V=a^2\sin\alpha\cdot H =d^3\cos^2\beta\sin\beta\sin\alpha. ]

Ściany boczne muszą występować w kolejności odpowiadającej bokom równoległoboku: $4,8,4,8$. Ponadto po złożeniu obu podstaw ich odpowiadające boki muszą mieć zgodną orientację. Warunki te spełnia siatka B; w siatce A jedna z podstaw jest zwrócona niewłaściwie.

Podstawą jest równoległobok o bokach $8$ i $4$ oraz kącie $60^\circ$:

[ P_p=8\cdot4\sin60^\circ=16\sqrt3. ]

Wysokość graniastosłupa wynosi $6$, więc

[ V=16\sqrt3\cdot6=96\sqrt3. ]

Niech $a$ będzie bokiem rombu, a $H$ wysokością graniastosłupa. Z pola bocznego mamy

[ 4aH=36, \qquad aH=9. ]

Objętość spełnia

[ 27=a^2\sin30^\circ\cdot H =\frac a2(aH)=\frac{9a}{2}. ]

Stąd $a=6$ cm i $H=\frac32$ cm. Siatkę tworzy pas czterech prostokątów $6\ \mathrm{cm}\times1{,}5\ \mathrm{cm}$ oraz dwa przystające romby o boku $6$ cm i kącie ostrym $30^\circ$, dołączone do odpowiednich krawędzi pasa.