MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 98

a) Trapez jest równoramienny, ma podstawy $4,8$ i ramiona $4$. Połowa różnicy podstaw wynosi $2$, więc jego wysokość jest równa $\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3$. Pole podstawy graniastosłupa wynosi

[ P_p=\frac{4+8}{2}\cdot2\sqrt3=12\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Stąd $V=12\sqrt3\cdot7=84\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$.

b) Wysokość trapezu prostokątnego jest równa $a\tan\alpha$, ponieważ różnica długości podstaw wynosi $a$. Zatem

[ P_p=\frac{a+2a}{2}\cdot a\tan\alpha =\frac32a^2\tan\alpha. ]

Po pomnożeniu przez wysokość graniastosłupa $3a$ otrzymujemy

[ V=\frac92a^3\tan\alpha. ]

a) Pole kwadratowej podstawy jest równe $16$, więc jej bok ma długość $4$. Jeżeli $H$ oznacza wysokość graniastosłupa, to

[ 9^2=4^2+4^2+H^2, \qquad H=7\ \mathrm{cm}. ]

Zatem $V=16\cdot7=112\ \mathrm{cm}^3$.

b) Składowa przekątnej $d$ wzdłuż krawędzi podstawy ma długość $a=d\cos\alpha$. Z zależności $d^2=2a^2+H^2$ wynika

[ H=d\sqrt{1-2\cos^2\alpha}. ]

Stąd

[ V=a^2H=d^3\cos^2\alpha\sqrt{1-2\cos^2\alpha}. ]

Wysokość musi być dodatnia, zatem $1-2\cos^2\alpha>0$. Kąt jest ostry, więc $45^\circ<\alpha<90^\circ$.

W pierwszym akwarium kamień wyparł objętość

[ V_k=20\cdot15\cdot(12-10)=600\ \mathrm{cm}^3. ]

W drugim akwarium ta sama objętość powoduje wzrost poziomu wody o $x-11$:

[ 20\cdot10\cdot(x-11)=600. ]

Stąd $x-11=3$, czyli $x=14$.

Wysokość każdego graniastosłupa jest równa $a$.

a) Pole trójkąta równobocznego wynosi $\frac{a^2\sqrt3}{4}$, więc

[ V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt3}{4}. ]

b) Pole sześciokąta foremnego wynosi $\frac{3a^2\sqrt3}{2}$, zatem

[ V=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\cdot a=\frac{3a^3\sqrt3}{2}. ]

a) Obwód sześciokątnej podstawy wynosi $24\ \mathrm{cm}$, więc

[ 24H=180, \qquad H=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}. ]

Pole podstawy jest równe $\frac{3\sqrt3}{2}\cdot4^2=24\sqrt3$, stąd

[ V=24\sqrt3\cdot\frac{15}{2}=180\sqrt3\ \mathrm{cm}^3. ]

b) Pole jednej podstawy wynosi $\frac{25\sqrt3}{4}$. Z warunku

[ 15H=2\cdot\frac{25\sqrt3}{4} ]

otrzymujemy $H=\frac{5\sqrt3}{6}$. Zatem

[ V=\frac{25\sqrt3}{4}\cdot\frac{5\sqrt3}{6} =\frac{125}{8}\ \mathrm{cm}^3. ]

Część do wysokości ścian jest prostopadłościanem:

[ V_1=4\cdot6\cdot2{,}5=60\ \mathrm{m}^3. ]

Dach tworzy graniastosłup o trójkątnej podstawie:

[ V_2=\frac12\cdot4\cdot1{,}5\cdot6=18\ \mathrm{m}^3. ]

Łączna kubatura wynosi $60+18=78\ \mathrm{m}^3$.