MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 100

Niech trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka będą wektorami $\vec u,\vec v,\vec w$ długości $a$, a kąt między każdą parą będzie równy $\alpha$. Oznaczmy $c=\cos\alpha$. Wyznacznik macierzy Grama tych wektorów jest równy

[ a^6\det\begin{pmatrix}1&c&c\c&1&c\c&c&1\end{pmatrix} =a^6(1-c)^2(1+2c). ]

Objętość romboedru wynosi zatem

[ V=a^3(1-c)\sqrt{1+2c}. ]

Pole rombowej podstawy jest równe $a^2\sin\alpha$, więc wysokość romboedru ma postać

[ H=\frac{V}{a^2\sin\alpha} =a\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)(1+2\cos\alpha)}{1+\cos\alpha}}. ]

a) Dla $a=4$ i $\alpha=60^\circ$ otrzymujemy

[ H=4\sqrt{\frac23}=\frac{4\sqrt6}{3}. ]

Pole jednego rombu wynosi

[ 3^2\sin45^\circ=\frac{9\sqrt2}{2}\ \mathrm{cm}^2. ]

Romboedr ma sześć ścian, więc

[ P_c=6\cdot\frac{9\sqrt2}{2}=27\sqrt2\ \mathrm{cm}^2. ]

Ze wzoru z zadania 1, dla $a=3$ i $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$,

[ V=27\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\sqrt{1+\sqrt2} \approx12{,}29\ \mathrm{cm}^3. ]