MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 96

W sześciokącie foremnym o boku $4$ odległość wierzchołków oddzielonych jednym wierzchołkiem wynosi $4\sqrt3$, a wierzchołków przeciwległych — $8$. Po dołączeniu krawędzi bocznej długości $4$ otrzymujemy dwa rodzaje przekątnych graniastosłupa:

[ d_1=\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=8, \qquad d_2=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt5. ]

Niech $a$ będzie krawędzią podstawy. Dłuższa przekątna ma rzut na podstawę równy średnicy sześciokąta, czyli $2a$. Stąd

[ 10^2=(2a)^2+5^2, \qquad a=\frac{5\sqrt3}{2}. ]

Pole obu podstaw wynosi $3\sqrt3a^2$, a pole boczne $6a\cdot5$. Zatem

[ P_c=3\sqrt3\cdot\frac{75}{4}+30\cdot\frac{5\sqrt3}{2} =\frac{525\sqrt3}{4}\ \mathrm{cm}^2. ]

Niech wspólna długość krawędzi będzie równa $a$. Krótsza przekątna ma długość

[ \sqrt{(a\sqrt3)^2+a^2}=2a, ]

a dłuższa

[ \sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt5. ]

Z warunku $a\sqrt5-2a=2$ otrzymujemy

[ a=\frac{2}{\sqrt5-2}=4+2\sqrt5. ]

Oznaczmy kwadraty długości krawędzi prostopadłościanu przez $x,y,z$. Kwadraty przekątnych ścian dają układ

[ x+y=100,\qquad x+z=289,\qquad y+z=261. ]

Dodając dwa pierwsze równania i odejmując trzecie, otrzymujemy $2x=128$, czyli $x=64$. Następnie $y=36$ i $z=225$, zatem krawędzie mają długości $8,6,15$. Pole całkowite wynosi

[ P_c=2(8\cdot6+8\cdot15+6\cdot15)=516\ \mathrm{cm}^2. ]

Niech krawędzie prostopadłościanu wychodzące z $C$ mają długości $a,b,c$, a przekątna $A_1C$ — długość $d$. Wtedy

[ d^2=a^2+b^2+c^2 ]

oraz, z definicji cosinusa kąta między wektorami,

[ \cos\alpha=\frac{a}{d},\qquad \cos\beta=\frac{b}{d},\qquad \cos\gamma=\frac{c}{d}. ]

Stąd

[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\frac{a^2+b^2+c^2}{d^2}=1. ]

Ponieważ $\sin^2x=1-\cos^2x$, otrzymujemy także

[ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=3-1=2. ]

Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, a $H$ wysokością. Mamy

[ P_c=2a^2+4aH, \qquad P_b=4aH. ]

Warunek $P_c=3P_b$ prowadzi do

[ 2a^2+4aH=12aH, \qquad a=4H. ]

Przekątna graniastosłupa ma długość

[ d=\sqrt{2a^2+H^2}=H\sqrt{33}. ]

Jeżeli $\alpha$ jest kątem tej przekątnej z krawędzią boczną, to

[ \cos\alpha=\frac{H}{d}=\frac1{\sqrt{33}}=\frac{\sqrt{33}}{33}. ]

W sześciokącie foremnym krótsza przekątna podstawy ma długość $a\sqrt3$. Jeżeli $H$ oznacza wysokość graniastosłupa, to jego dłuższa przekątna ma długość $\sqrt{4a^2+H^2}$. Z warunku zadania

[ \sqrt{4a^2+H^2}=3a\sqrt3. ]

Po podniesieniu do kwadratu dostajemy $H^2=23a^2$, zatem $H=a\sqrt{23}$. Pole boczne jest więc równe

[ P_b=6aH=6a^2\sqrt{23}. ]

Krótsza przekątna rombu o boku $a$ i kącie ostrym $\alpha$ ma długość

[ p=2a\sin\frac\alpha2. ]

Krótsza przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $p$ i $a$, ponieważ wysokość graniastosłupa również wynosi $a$. Zatem

[ d=\sqrt{p^2+a^2} =a\sqrt{1+4\sin^2\frac\alpha2}. ]

Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, a $H$ — wysokością graniastosłupa. Składowa przekątnej $d$ wzdłuż krawędzi podstawy ma długość $a$, więc

[ a=d\cos\alpha. ]

Ponieważ $d^2=2a^2+H^2$, otrzymujemy

[ H=d\sqrt{1-2\cos^2\alpha} =d\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}. ]

Stąd

[ P_b=4aH =4d^2\cos\alpha\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}. ]

Z każdego z $n$ wierzchołków dolnej podstawy wychodzi $n-3$ przekątnych graniastosłupa do wierzchołków górnej podstawy: pomijamy krawędź boczną oraz dwie przekątne ścian bocznych. Jest ich zatem $n(n-3)$.

Każda z $n$ prostokątnych ścian bocznych ma dwie przekątne, więc łącznie jest ich $2n$. Warunek zadania daje

[ n(n-3)-2n=24, \qquad n^2-5n-24=0, ]

[ (n-8)(n+3)=0. ]

Ponieważ $n$ jest dodatnie, $n=8$.