MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 95

Niech $H$ będzie wysokością graniastosłupa. W każdym przypadku

[ P_c=2\cdot5^2+4\cdot5H=50+20H. ]

a) Z trójkąta tworzonego przez krawędź podstawy, krawędź boczną i przekątną ściany mamy

[ \tan30^\circ=\frac{H}{5}, \qquad H=\frac{5\sqrt3}{3}. ]

b) Tym razem $\tan30^\circ=\frac5H$, więc $H=5\sqrt3$.

c) Wektor przekątnej ściany ma długość $\sqrt{25+H^2}$, a przekątna graniastosłupa $\sqrt{50+H^2}$. Iloczyn skalarny daje

[ \cos30^\circ=\frac{\sqrt{25+H^2}}{\sqrt{50+H^2}}. ]

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $H^2=50$, czyli $H=5\sqrt2$.

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$, a wysokość przez $H$. Dwie wskazane przekątne są wektorami o składowych $(a,0,H)$ i $(0,a,H)$. Ich iloczyn skalarny jest równy $H^2$, a obie mają długość $\sqrt{a^2+H^2}$. Zatem

[ \cos60^\circ=\frac{H^2}{a^2+H^2}=\frac12. ]

Stąd $2H^2=a^2+H^2$, czyli $H=a$. Wszystkie krawędzie graniastosłupa są więc równe.

Przekątna podstawy ma długość $4\sqrt2$. Oznaczmy przekątną bryły przez $d$, a jej wysokość przez $H$.

a) [ \cos45^\circ=\frac{4\sqrt2}{d}, \qquad d=8. ]

b) Mamy $H=d\cos30^\circ$ oraz $d^2=H^2+32$. Zatem

[ d^2=\frac34d^2+32, \qquad d=8\sqrt2. ]

c) Długość przekątnej ściany bocznej wynosi $\sqrt{16+H^2}$. Z iloczynu skalarnego

[ \cos30^\circ=\frac{\sqrt{16+H^2}}{\sqrt{32+H^2}}. ]

Po podniesieniu do kwadratu dostajemy $H^2=32$, a więc $d=8$.

a) Najpierw stosujemy twierdzenie Pitagorasa do prostokątnej ściany o bokach $a,b$. Jej przekątna ma długość

[ p=\sqrt{a^2+b^2}. ]

Przekątna prostopadłościanu, odcinek $p$ i trzecia krawędź $c$ tworzą trójkąt prostokątny. Zatem

[ d^2=p^2+c^2=a^2+b^2+c^2, \qquad d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. ]

b) W sześcianie $a=b=c$, więc

[ d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3. ]

Jeżeli $a$ jest krawędzią podstawy, to

[ (4\sqrt6)^2=2a^2+8^2. ]

Stąd $96=2a^2+64$, więc $a=4$. Pole całkowite wynosi

[ P_c=2a^2+4aH=2\cdot16+4\cdot4\cdot8=160. ]

Każdy typ ściany ma przekątną równą pierwiastkowi z sumy kwadratów jej boków, a przekątna bryły ma długość $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

a) [ \sqrt{5^2+9^2}=\sqrt{106},\quad \sqrt{5^2+12^2}=13,\quad \sqrt{9^2+12^2}=15, ]

[ d=\sqrt{5^2+9^2+12^2}=5\sqrt{10}. ]

b) [ \sqrt{6^2+8^2}=10,\quad \sqrt{6^2+15^2}=3\sqrt{29},\quad \sqrt{8^2+15^2}=17, ]

[ d=\sqrt{6^2+8^2+15^2}=5\sqrt{13}. ]

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Przekątna podstawy ma długość $a\sqrt2$, a przekątna sześcianu $a\sqrt3$. W trójkącie prostokątnym, którego są to odpowiednio przyprostokątna i przeciwprostokątna,

[ \cos\alpha=\frac{a\sqrt2}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}. ]

Stąd $\alpha\approx35{,}26^\circ$.