MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 94

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy, a $H$ — krawędź boczną. Przekątna ściany bocznej jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $a,H$. Ponieważ kąt $\alpha$ leży między przekątną a krawędzią boczną,

[ \sin\alpha=\frac{a}{25}=0{,}28, \qquad a=7\ \mathrm{cm}. ]

Z twierdzenia Pitagorasa

[ H=\sqrt{25^2-7^2}=24\ \mathrm{cm}. ]

Stąd

[ P_c=2a^2+4aH=2\cdot49+4\cdot7\cdot24=770\ \mathrm{cm}^2. ]

Przekątna ściany bocznej ma długość $d=\sqrt{a^2+b^2}$. Z warunku

[ \cos\alpha=\frac{a}{d}=\frac13 ]

wynika $d=3a$, a więc

[ b^2=d^2-a^2=8a^2, \qquad b=2\sqrt2a. ]

Pole całkowite graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe

[ P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ab. ]

a) Dla $a=6$ mamy $b=12\sqrt2$, zatem

[ P_c=18\sqrt3+216\sqrt2\ \mathrm{cm}^2. ]

b) Dla $b=6$ otrzymujemy $a=\frac{3\sqrt2}{2}$, więc

[ P_c=\frac{9\sqrt3}{4}+27\sqrt2\ \mathrm{cm}^2. ]

Trójkąt $AD_1C$ jest równoramienny: $AD_1=CD_1=8$, a jego podstawą jest przekątna kwadratu $AC=a\sqrt2$. Wysokość tego trójkąta dzieli $AC$ na połowy, dlatego

[ \cos\alpha=\frac{AC/2}{8}=\frac{a\sqrt2}{16}=\frac14. ]

Stąd $a=2\sqrt2$. Jeżeli $H$ jest wysokością graniastosłupa, to

[ a^2+H^2=8^2, \qquad H=\sqrt{64-8}=2\sqrt{14}. ]

Pole boczne wynosi

[ P_b=4aH=4\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt{14}=32\sqrt7\ \mathrm{cm}^2. ]