MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 93

a) Pole rombu jest równe

[ P_p=12^2\sin30^\circ=72\ \mathrm{cm}^2, ]

a jego obwód wynosi $48\ \mathrm{cm}$. Zatem

[ P_c=2\cdot72+48\cdot8=528\ \mathrm{cm}^2. ]

b) Trzeci bok trójkąta wyznaczamy z twierdzenia cosinusów:

[ c^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cos120^\circ=108, \qquad c=6\sqrt3. ]

Pole podstawy wynosi $\frac12\cdot6^2\sin120^\circ=9\sqrt3$, a jej obwód $12+6\sqrt3$. Stąd

[ P_c=18\sqrt3+8(12+6\sqrt3)=96+66\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Podstawami trapezu są odcinki długości $12$ i $6$. Po opuszczeniu wysokości otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $5$ i jednej przyprostokątnej $\frac{12-6}{2}=3$, więc wysokość trapezu wynosi $4$. Zatem

[ P_p=\frac{12+6}{2}\cdot4=36\ \mathrm{cm}^2, \qquad L=12+5+6+5=28\ \mathrm{cm}. ]

a) $28H=560$, skąd $H=20\ \mathrm{cm}$.

b) [ 2\cdot36+28H=492, \qquad H=15\ \mathrm{cm}. ]

Niech $c$ będzie przeciwprostokątną podstawy. Jest ona zarazem wysokością graniastosłupa. Największa ściana boczna ma więc pole $c^2=100$, stąd $c=10$. Suma przyprostokątnych wynosi $24-10=14$. Jeżeli oznaczymy je przez $a,b$, to

[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab, \qquad 14^2=10^2+2ab, ]

czyli $ab=48$. Pole podstawy jest równe $\frac12ab=24$. Pole boczne to obwód podstawy pomnożony przez wysokość: $24\cdot10=240$. Zatem

[ P_c=2\cdot24+240=288\ \mathrm{cm}^2. ]

Każdą siatkę uzupełniamy pasem prostokątów odpowiadających wszystkim bokom podstawy oraz drugą, przystającą podstawą.

a) Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$, a wysokość graniastosłupa wynosi $10$. Zatem

[ P_c=2\cdot\frac{6^2\sqrt3}{4}+3\cdot6\cdot10 =180+18\sqrt3. ]

b) Podstawą jest równoległobok o bokach $8,6$ i kącie $45^\circ$, a wysokość graniastosłupa wynosi $4$. Stąd

[ P_c=2\cdot8\cdot6\sin45^\circ+2(8+6)\cdot4 =112+48\sqrt2. ]

c) Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $12$ i $5$, więc trzeci bok ma długość $13$. Wysokość graniastosłupa wynosi $4$:

[ P_c=2\cdot\frac12\cdot12\cdot5+(12+5+13)\cdot4=180. ]

W każdym przypadku wysokość graniastosłupa wynosi $2$, a pole boczne jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości.

a) Dwie podstawy równoboczne mają łącznie pole $2\sqrt3$, a trzy prostokąty boczne pole $12$.

b) Dwie podstawy kwadratowe mają łącznie pole $8$, a cztery ściany boczne pole $16$.

c) Jedna podstawa sześciokątna ma pole $6\sqrt3$. Dwie podstawy mają pole $12\sqrt3$, a sześć ścian bocznych pole $24$.

Siatka składa się odpowiednio z pasa $3$, $4$ albo $6$ kwadratów $2\times2$ oraz dwóch właściwych wielokątów foremnych dołączonych do pasa.

Porównujemy dziewięć podanych układów z jedenastoma różnymi siatkami sześcianu, utożsamiając obroty i odbicia. Brakuje następujących dwóch układów sześciu kwadratów:

[]
[][][][]
[]

oraz

  [][]
  []
[][]
[]

W pierwszym układzie dwa dodatkowe kwadraty są dołączone po przeciwnych stronach skrajnego kwadratu pasa długości $4$. W drugim są to dwa przesunięte względem siebie pionowe pasy po trzy kwadraty, połączone bokiem środkowych kwadratów.