MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 92

Niech $h$ oznacza wysokość prostopadłościanu. Pole obu podstaw wynosi $2\cdot4\cdot6=48\ \mathrm{cm}^2$, a pole boczne $2(4+6)h=20h$.

a) [ 48+20h=100, \qquad h=\frac{52}{20}=\frac{13}{5}\ \mathrm{cm}. ]

b) Z warunku $P_b=60\%P_c$ mamy

[ 20h=0{,}6(48+20h), \qquad 8h=28{,}8, \qquad h=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}. ]

Po odjęciu zakładek na sześć ścian przypada

[ 0{,}8\cdot1620=1296\ \mathrm{cm}^2. ]

Jeżeli $a$ jest krawędzią sześcianu, to

[ 6a^2=1296, \qquad a^2=216, \qquad a=6\sqrt6\ \mathrm{cm}. ]

Po złożeniu siatki sprawdzamy pary ścian przeciwległych.

a) Pary przeciwległe to $(1,6)$, $(2,5)$ i $(3,4)$, więc wszystkie sumy są równe $7$.

b) Otrzymujemy te same trzy pary: $(1,6)$, $(2,5)$ i $(3,4)$.

c) Ściany z liczbami $2$ i $6$ stają się przeciwległe, a ich suma wynosi $8$, więc warunek nie jest spełniony.

d) Pary przeciwległe to ponownie $(1,6)$, $(2,5)$ i $(3,4)$.

Dla graniastosłupa trójkątnego pole jednej podstawy wynosi $\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3$, a pole boczne jest równe $3\cdot4\cdot10=120$. Stąd

[ P_{c,3}=120+8\sqrt3. ]

Dla graniastosłupa sześciokątnego pole jednej podstawy wynosi $6\cdot\frac{2^2\sqrt3}{4}=6\sqrt3$, a pole boczne $6\cdot2\cdot15=180$. Zatem

[ P_{c,6}=180+12\sqrt3 =\frac32(120+8\sqrt3)=\frac32P_{c,3}. ]