MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 90

Przyjmijmy układ współrzędnych zgodny z krawędziami sześcianu. Jeżeli wektor odcinka ma składowe $(x,y,z)$, to długości jego rzutów na trzy pary równoległych ścian są równe

[ \sqrt{x^2+y^2},\qquad \sqrt{x^2+z^2},\qquad \sqrt{y^2+z^2}. ]

a) Niech $M$ będzie środkiem krawędzi $CC_1$. Wektor $\overrightarrow{AM}$ ma, z dokładnością do kolejności osi, składowe $(2,2,1)$. Długości rzutów wynoszą więc $2\sqrt2,\sqrt5,\sqrt5$.

b) Dla przekątnej podstawy $AC$ składowe wynoszą $(2,2,0)$, zatem otrzymujemy długości $2\sqrt2,2,2$.

c) Niech $P$ będzie środkiem $AA_1$, a $Q$ środkiem $B_1C_1$. Wektor $\overrightarrow{PQ}$ ma składowe $(2,1,1)$, więc długości jego rzutów są równe $\sqrt5,\sqrt5,\sqrt2$.

Rzut prostokątny nie zwiększa długości odcinka. Po zrzutowaniu każdego boku trójkąta i zsumowaniu otrzymujemy zatem

[ |A_1B_1|+|B_1C_1|+|C_1A_1| \le |AB|+|BC|+|CA|. ]

Rzut nie zwiększa również pola: jeśli płaszczyzny trójkątów tworzą kąt $\varphi$, to pole rzutu jest równe $P_{ABC}|\cos\varphi|$.

Miara pojedynczego kąta może natomiast wzrosnąć. Przykładowo, dla $B=(0,0,0)$, $A=(1,0,1)$ i $C=(0,1,1)$ kąt $ABC$ ma miarę $60^\circ$. Po rzucie na płaszczyznę $z=0$ wektory $(1,0)$ i $(0,1)$ są prostopadłe, więc kąt $A_1B_1C_1$ ma miarę $90^\circ$.

Ponieważ $l\perp k_1$, trójkąty $ABD$ i $ACD$ są prostokątne. Mają wspólną przyprostokątną $AD$ oraz $AB=AC$, więc są przystające. Stąd $BD=CD$. Tak samo z $l\perp k_2$ otrzymujemy $BF=CF$.

Trójkąty $BDF$ i $CDF$ mają trzy pary równych boków:

[ BD=CD,\qquad BF=CF,\qquad DF=DF, ]

zatem są przystające na mocy cechy bbb. Odpowiadające sobie punkty $B$ i $C$ są symetryczne względem prostej $DF$. Ponieważ $E\in DF$, wynika stąd $BE=CE$.

Punkty $A$ i $E$ są więc jednakowo odległe od $B$ i $C$. Prosta $AE$ jest symetralną odcinka $BC$. Ponieważ $A$ leży na $BC$, mamy $AE\perp BC$, czyli

[ \angle BAE=\angle CAE=90^\circ. ]