MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 89

Przyjmijmy układ współrzędnych zgodny z trzema kierunkami krawędzi sześcianów. Wtedy kierunki prostych porównujemy przez proporcjonalność wektorów, a prostopadłość — przez zerowy iloczyn skalarny.

a) Wektor kierunkowy $EF_1$ ma po jednej jednostce w kierunku „w głąb” i pionowym. Ten sam kierunek mają $BC_1$ i $AD_1$. Prostopadłe są odcinki o kierunku poprzecznym oraz przekątne o przeciwnych składowych „w głąb” i pionowej:

$$\begin{aligned} &BE,AB,AE,CF,DC,DF,\\ &B_1E_1,A_1B_1,A_1E_1,C_1F_1,D_1C_1,D_1F_1,\\ &E_1F,B_1C,A_1D. \end{aligned}$$

b) Wektor $A_1C_1$ ma równe składowe w dwóch poziomych kierunkach. Równoległe są $B_1F_1,AC,BF$. Prostopadłe mają przeciwne składowe poziome albo są pionowe:

$$\begin{aligned} &D_1B_1,C_1E_1,DB,CE,\\ &AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1,FF_1,\\ &D_1B,B_1D,C_1E,E_1C. \end{aligned}$$

Rzutujemy osobno oba końce odcinka $D_1B$ na daną ścianę.

a) Punkt $D_1$ już leży w górnej ścianie, a rzutem $B$ jest $B_1$, więc rzutem jest $D_1B_1$.

b) Punkt $D_1$ leży w ścianie $ADD_1A_1$, a rzutem $B$ jest $A$, więc otrzymujemy $AD_1$.

c) Rzutem $D_1$ na ścianę $BCC_1B_1$ jest $C_1$, a $B$ już w niej leży, więc otrzymujemy $C_1B$.

d) Rzutem $D_1$ na ścianę $ABB_1A_1$ jest $A_1$, a drugi koniec pozostaje w punkcie $B$. Rzutem jest $A_1B$.

W sześcianie rozważmy trzy proste zawierające krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka $A$: $k=AB$, $l=AA_1$ i $m=AD$. Każde dwie z tych krawędzi są prostopadłe, więc w szczególności

$$k\perp l\quad\text{oraz}\quad l\perp m.$$

Jednak $k$ i $m$ przecinają się w punkcie $A$ i są prostopadłe, a zatem nie są równoległe. To kontrprzykład; trzy rozważane proste nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Twierdzenie. Długość rzutu prostokątnego odcinka na płaszczyznę nie jest większa od długości tego odcinka.

Jeśli $R_1=S_1$, to $R_1S_1=0\le RS$ i teza jest natychmiastowa. Załóżmy więc, że $R_1\ne S_1$. Poprowadźmy przez $R$ i $S$ proste prostopadłe do $P$; są one różne, równoległe i wyznaczają płaszczyznę zawierającą także $R_1,S_1$ (również wtedy, gdy któryś koniec odcinka leży w $P$). W tej płaszczyźnie poprowadźmy przez $S$ prostą równoległą do $R_1S_1$ i oznaczmy jej punkt przecięcia z prostą przechodzącą przez $R,R_1$ przez $T$. Czworokąt $R_1S_1ST$ jest prostokątem, zatem $ST=R_1S_1$. Ponieważ $RT\perp ST$, odcinek $RS$ jest przeciwprostokątną trójkąta $RST$, więc

$$RS\ge ST=R_1S_1.$$

Dla niezerowego odcinka równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy prosta $RS$ jest równoległa do płaszczyzny $P$; dla $R=S$ obie długości są równe zeru.