MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 75

Pole kwadratu $\Omega=[-3;3]\times[-3;3]$ wynosi $36$. Wymiary figur odczytano z siatki współrzędnych na skanie strony.

a) Biały romb ma przekątne długości $6$ i $6$, więc jego pole wynosi $18$. Niebieskie dopełnienie ma również pole $36-18=18$, zatem $p=\frac{18}{36}=\frac12$.

b) Dwa przystające niebieskie obszary mają łącznie pole $9$ (każdy daje $\frac92$ po podziale wzdłuż linii siatki). Stąd $p=\frac9{36}=\frac14$.

c) Niebieskie koło ma środek w początku układu i promień $2$, więc $p=\frac{4\pi}{36}=\frac\pi9$.

Pole prostokąta $\Omega$ wynosi $6\cdot4=24$.

a) Warunek $x+y\le4$ wycina trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $4$ i $4$. Jego pole to $8$, więc $p=\frac8{24}=\frac13$.

b) Warunek $|x-2|\ge1$ oznacza $x\le1$ lub $x\ge3$. Łączna szerokość tych pasów wynosi $1+3=4$, zatem $p=\frac{4\cdot4}{24}=\frac23$.

c) Dopełnienie pasa $|x-y|\le1$ tworzą dwa obszary. Dla $x>y+1$ pole wynosi $\int_0^4(5-y)\,dy=12$, a dla $y>x+1$ wynosi $\int_0^3(3-x)\,dx=\frac92$. Pole pasa jest więc $24-12-\frac92=\frac{15}{2}$, skąd $p=\frac{15/2}{24}=\frac5{16}$.