MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 74

Przy rzucie $m$ monetami niech $N$ oznacza liczbę orłów. Wtedy liczba reszek to $m-N$, a wypłata wynosi $2^N-3(m-N)$. Ponieważ dla jednej monety czynnik w $2^N$ ma wartość $2$ lub $1$, mamy

$$E(2^N)=\left(\frac{2+1}{2}\right)^m=\left(\frac32\right)^m, \qquad E(m-N)=\frac m2.$$

Zatem

a) $EX=\left(\frac32\right)^4-3\cdot\frac42 =\frac{81}{16}-6=-\frac{15}{16}$ zł,

b) $EX=\left(\frac32\right)^5-3\cdot\frac52 =\frac{243}{32}-\frac{15}{2}=\frac3{32}$ zł.

W grze sprawiedliwej oczekiwana wypłata brutto jest równa cenie zakładu. Korzystamy z prawdopodobieństw podanych w tabeli.

a) Jeśli $x$ jest jedyną wygraną, to $0{,}000000072x=1$, więc $x\approx13\,888\,889$ zł.

b) Dla wygranej $x$ za szóstkę:

$$0{,}017650404\cdot10+0{,}000968620\cdot100 +0{,}000018450\cdot1000+0{,}000000072x=1.$$

Stąd $x\approx9\,835\,888$ zł.

c) Sprawiedliwa cena jest oczekiwaną wypłatą:

$$0{,}017650404\cdot100+0{,}000968620\cdot1000 +0{,}000018450\cdot10\,000+0{,}000000072\cdot10\,000\,000 \approx3{,}64\ \text{zł}.$$

Jest $\binom53=10$ jednakowo prawdopodobnych wyborów. Trójkątów o bokach $(4,4,4)$, $(4,4,6)$ i $(4,6,6)$ jest odpowiednio $1$, $6$ i $3$.

a) Ich obwody wynoszą $12$, $14$, $16$ cm, więc

$$E(O)=\frac{1\cdot12+6\cdot14+3\cdot16}{10}=14{,}4\ \text{cm}.$$

b) Pola tych trójkątów wynoszą odpowiednio $4\sqrt3$, $3\sqrt7$ i $8\sqrt2\ \text{cm}^2$. Zatem

$$E(P)=\frac{4\sqrt3+18\sqrt7+24\sqrt2}{10} =\frac{12\sqrt2+2\sqrt3+9\sqrt7}{5}\ \text{cm}^2.$$

a) Spośród $\binom82=28$ par wierzchołków $12$ wyznacza krawędź długości $1$, $12$ przekątną ściany długości $\sqrt2$, a $4$ przekątną sześcianu długości $\sqrt3$. Dlatego

$$E(d)=\frac{12+12\sqrt2+4\sqrt3}{28} =\frac{3+3\sqrt2+\sqrt3}{7}\ \text{cm}.$$

b) Jest $\binom83=56$ trójek wierzchołków. Odpowiednio $24$, $24$ i $8$ z nich tworzy trójkąt o polu $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$ i $\frac{\sqrt3}{2}\ \text{cm}^2$. Stąd

$$E(P)=\frac{12+12\sqrt2+4\sqrt3}{56} =\frac{3+3\sqrt2+\sqrt3}{14}\ \text{cm}^2.$$