MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 73

Wygrane $10$ zł, $120$ zł i przegrana $90$ zł mają prawdopodobieństwa odpowiednio $\frac12$, $\frac16$, $\frac13$.

a)

$$EX=10\cdot\frac12+120\cdot\frac16-90\cdot\frac13=-5\ \text{zł}.$$

b) Dla przegranej $x$ warunek sprawiedliwości ma postać

$$10\cdot\frac12+120\cdot\frac16-x\cdot\frac13=0,$$

więc $x=75$ zł.

Wśród $36$ uporządkowanych wyników jest $15$ par, w których drugi wynik jest większy, $6$ par równych i $15$ par, w których drugi wynik jest mniejszy.

a) Dla $x_1=180$:

$$EX=180\cdot\frac{15}{36}-120\cdot\frac6{36} -60\cdot\frac{15}{36}=30\ \text{zł}.$$

b) Z równania

$$x_1\cdot\frac{15}{36}-120\cdot\frac6{36} -60\cdot\frac{15}{36}=0$$

otrzymujemy $x_1=108$ zł.

Wartość oczekiwana liczby orłów w $n$ rzutach symetryczną monetą wynosi $\frac n2$.

a) W pierwszej grze $EX_1=24\cdot\frac32=36$ zł, a w drugiej $EX_2=15\cdot\frac42=30$ zł. Większą wartość ma pierwsza gra.

b) Warunek równości wartości oczekiwanych daje

$$x\cdot\frac32=30,$$

czyli $x=20$ zł za każdego orła.

Prawdopodobieństwa dwóch reszek, jednej reszki i dwóch orłów wynoszą odpowiednio $\frac14$, $\frac12$, $\frac14$.

a)

$$EX=20\cdot\frac14+10\cdot\frac12-40\cdot\frac14=0,$$

więc gra jest sprawiedliwa.

b) Jeśli przegrana przy dwóch orłach wynosi $x_3$, to

$$49\cdot\frac14+49\cdot\frac12-x_3\cdot\frac14=0,$$

skąd $x_3=147$.