MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 70

Prawdopodobieństwo wylosowania dobrej piłki w jednej próbie wynosi $0{,}96$. Losowania ze zwracaniem są niezależne.

a) $P(\text{pięć dobrych})=0{,}96^5\approx0{,}815$.

b) Zdarzeniem przeciwnym do wylosowania co najmniej jednej wadliwej piłki jest pięciokrotne wylosowanie dobrej, więc

$$P(\text{co najmniej jedna wadliwa})=1-0{,}96^5\approx0{,}185.$$

W pojedynczym pytaniu $p=\frac13$ i $q=\frac23$.

$$P(A)=q^{10}=\left(\frac23\right)^{10}=\frac{1024}{59049}\approx0{,}0173.$$

Zdarzenie $B$ jest przeciwne do $A$, zatem $P(B)=1-P(A)\approx0{,}9827$.

Zdarzenie $C$ oznacza zero albo jedną poprawną odpowiedź:

$$P(C)=q^{10}+\binom{10}{1}pq^9 =\frac{1024+5120}{59049} =\frac{2048}{19683}\approx0{,}104.$$

Prawdopodobieństwo poprawnej odpowiedzi wynosi $p=\frac14$. Zaliczenie oznacza dokładnie pięć albo sześć poprawnych odpowiedzi:

$$\binom65\left(\frac14\right)^5\frac34 +\left(\frac14\right)^6 =\frac{18+1}{4096}=\frac{19}{4096}\approx0{,}00464.$$

Jest to około $0{,}464\%$, czyli mniej niż $0{,}5\%$.

a) Dla pięciu sukcesów $p^5=\frac{32}{243}=\left(\frac23\right)^5$, więc $p=\frac23$.

b) Jeśli $q=1-p$, to prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu wynosi $1-q^4$. Stąd

$$1-q^4=\frac{15}{16},\qquad q^4=\frac1{16},\qquad q=\frac12,$$

a zatem $p=\frac12$.

Rzuty obu koszykarek traktujemy jako niezależne. Dla pierwszej $p_1=\frac12$, a dla drugiej $p_2=\frac45$.

a)

$$\binom53\left(\frac12\right)^5 \binom53\left(\frac45\right)^3\left(\frac15\right)^2 =\frac8{125}.$$

b)

$$\binom54\left(\frac12\right)^5 \binom54\left(\frac45\right)^4\frac15 =\frac8{125}.$$

c) Każda ma trafić co najmniej raz, więc

$$\left(1-\left(\frac12\right)^5\right) \left(1-\left(\frac15\right)^5\right) =\frac{96844}{100000}=0{,}96844.$$

Wykonano $50+50+50+150+100+200=600$ rzutów, więc częstości względne dają proponowany rozkład:

Prawdopodobieństwo wyniku większego od $3$ w jednym rzucie wynosi $\frac14+\frac16+\frac13=\frac34$. Dla sześciu niezależnych rzutów jest to

$$\left(\frac34\right)^6=\frac{729}{4096}.$$