MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 69

a) Ze wzoru Bernoulliego: [ P=\binom42\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2 =\frac6{16}=\frac38. ]

b) Drzewo ma $2^4=16$ jednakowo prawdopodobnych liści. Dokładnie dwa orły występują na sześciu ścieżkach: [ OORR,\ OROR,\ ORRO,\ ROOR,\ RORO,\ RROO. ] Każda ścieżka ma prawdopodobieństwo $\frac1{16}$, więc łącznie $P=\frac6{16}=\frac38$.

a) [ P(X=4)=\binom64\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{64}. ]

b) [ P(X\ge4)=\frac{\binom64+\binom65+\binom66}{2^6} =\frac{15+6+1}{64}=\frac{11}{32}. ]

Dla równorzędnych graczy prawdopodobieństwo wygrania każdej partii wynosi $\frac12$.

Dokładnie trzy wygrane w pięciu partiach: [ P_5=\binom53\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32}=\frac5{16}. ]

Dokładnie cztery wygrane w siedmiu partiach: [ P_7=\binom74\left(\frac12\right)^7=\frac{35}{128}. ] Ponieważ $\frac5{16}=\frac{40}{128}>\frac{35}{128}$, bardziej prawdopodobne są trzy wygrane w pięciu partiach.

Prawdopodobieństwo co najmniej jednego orła wynosi [ P=1-\left(\frac12\right)^n. ] Rozwiązujemy kolejno nierówności $2^{-n}<1-p_0$.

a) $2^{-n}<0{,}1$, więc $n>\log_2 10$ i $n\ge4$.

b) $2^{-n}<0{,}01$, więc $n>\log_2 100$ i $n\ge7$.

c) $2^{-n}<0{,}001$, więc $n>\log_2 1000$ i $n\ge10$.

d) $2^{-n}<0{,}0001$, więc $n>\log_2 10000$ i $n\ge14$.

Dla szóstki $p=\frac16$, a $q=\frac56$.

a) [ P(X=2)=\binom42\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^2 =\frac{25}{216}. ]

b) Odejmujemy przypadki trzech i czterech szóstek: [ P(X\le2)=1-\binom43\left(\frac16\right)^3\frac56-\left(\frac16\right)^4 =1-\frac{21}{1296}=\frac{425}{432}. ]

a) Dla szóstki $p=\frac16$: [ P(X=3)=\binom53\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^2 =\frac{125}{3888}. ]

b) Wynik większy od $4$ ma prawdopodobieństwo $p=\frac13$. Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: [ P(X\ge2)=1-\left(\frac23\right)^5 -\binom51\frac13\left(\frac23\right)^4 =1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243} =\frac{131}{243}. ]

a) W jednym rzucie dwiema kostkami sumę większą od $10$ dają trzy wyniki, więc $p=\frac3{36}=\frac1{12}$. Dla trzech prób: [ P(X\ge2)=\binom32\left(\frac1{12}\right)^2\frac{11}{12} +\left(\frac1{12}\right)^3 =\frac{17}{864}. ]

b) Sumę $6$ daje pięć wyników, więc $p=\frac5{36}$. Zatem [ P(X\ge2)=\binom32\left(\frac5{36}\right)^2\frac{31}{36} +\left(\frac5{36}\right)^3 =\frac{1225}{23328}. ]