MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 65

Alarm nie zostanie uruchomiony tylko wtedy, gdy wszystkie trzy czujniki zawiodą. Dla jednego czujnika prawdopodobieństwo niewykrycia pożaru wynosi $0{,}4$. Z niezależności: [ P(\text{alarm})=1-0{,}4^3=1-0{,}064=0{,}936. ]

Ze skanu widać, że szczur dotrze do jednego z dwóch miejsc z pokarmem wtedy i tylko wtedy, gdy na pierwszym oraz trzecim rozwidleniu skręci w prawo. Drugi wybór może być dowolny.

a) Niech $q=P(\text{prawo})$. Skoro skręt w lewo jest dwa razy częstszy, $q+2q=1$, więc $q=\frac13$. Zatem [ P(\text{pokarm})=q^2=\frac19. ]

b) Jeżeli $q=\frac{x}{100}$, to [ q^2=\frac9{16}. ] Ponieważ $q>0$, otrzymujemy $q=\frac34$, a więc $x=75$.

Niech $w$ oznacza liczbę kul białych, a $9-w$ — zielonych. Wszystkich par jest $\binom92=36$.

Pary różnych kolorów można wybrać na $w(9-w)$ sposobów. Skoro oba rozpatrywane prawdopodobieństwa są równe, każde wynosi $\frac12$, zatem [ w(9-w)=18. ] Stąd [ w^2-9w+18=0,\qquad (w-3)(w-6)=0. ] Zatem $w=3$ albo $w=6$.

Niech $n$ oznacza liczbę kul czarnych. Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: [ P(\text{co najmniej jedna biała}) =1-\frac{n}{n+3}\cdot\frac{n-1}{n+2}>\frac12. ] Zatem [ \frac{n(n-1)}{(n+3)(n+2)}<\frac12, ] [ 2n(n-1)<n^2+5n+6, ] [ n^2-7n-6<0. ] Pierwiastki trójmianu to $\frac{7\pm\sqrt{73}}2$, więc dla dodatnich całkowitych $n$ mamy $1\le n\le7$. Łączna liczba kul $n+3$ może zatem wynosić od $4$ do $10$.

Liczba losów spełnia $n\ge6$.

a) [ \frac{\binom62}{\binom n2}=\frac{30}{n(n-1)}>\frac15. ] Stąd $n(n-1)<150$, co dla całkowitych $n\ge6$ daje [ 6\le n\le12. ]

b) Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: [ 1-\frac{\binom{n-6}{2}}{\binom n2}>\frac13. ] Po przekształceniu: [ 3(n-6)(n-7)<2n(n-1), ] [ n^2-37n+126<0. ] Dla całkowitych $n\ge6$ nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy [ 6\le n\le33. ]

a) Przy jednym losie każda z $15$ nagród ma wartość co najmniej $5$ zł, czyli nie mniejszą niż koszt losu: [ P=\frac{15}{50}=0{,}3. ]

b) Dwa losy kosztują $10$ zł. Wygrana jest mniejsza od kosztu tylko wtedy, gdy oba losy są przegrywające albo gdy jeden daje $5$ zł, a drugi jest przegrywający. Liczba takich par wynosi [ \binom{35}{2}+10\cdot35=595+350=945. ] Zatem [ P=1-\frac{945}{\binom{50}{2}} =1-\frac{945}{1225}=\frac8{35}. ]

Po dodaniu losu do ponownego losowania w puli jest $n+1$ losów. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo ostatecznej wygranej.

Wygrana następuje od razu z prawdopodobieństwem $\frac1{n+1}$. Los do ponownego losowania wypada z takim samym prawdopodobieństwem i przywraca sytuację o szansie $p$. Zatem [ p=\frac1{n+1}+\frac1{n+1}p. ] Stąd [ np=1,\qquad p=\frac1n. ] Jest to dokładnie prawdopodobieństwo wygranej przed dodaniem nowego losu.