MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 64

Liczba biletów może być równa $0$, $1$ albo $2$.

• Dla dwóch reszek, z prawdopodobieństwem $\frac14$, nie losuje się żadnego biletu.
• Dla dokładnie jednego orła, z prawdopodobieństwem $\frac12$, bilet musi otrzymać dziewczyna: prawdopodobieństwo $\frac{20}{30}$.
• Dla dwóch orłów, z prawdopodobieństwem $\frac14$, obie wybrane osoby muszą być dziewczętami: prawdopodobieństwo $\frac{20}{30}\cdot\frac{19}{29}$.

Zatem [ P=\frac14+\frac12\cdot\frac{20}{30} +\frac14\cdot\frac{20}{30}\cdot\frac{19}{29} =\frac14+\frac13+\frac{19}{174} =\frac{241}{348}. ]

W pierwszej urnie prawdopodobieństwa kuli białej i czarnej wynoszą odpowiednio $\frac23$ i $\frac13$.

Po przełożeniu białej kuli w drugiej urnie są $3$ białe i $6$ czarnych, a po przełożeniu czarnej — $2$ białe i $7$ czarnych. Zatem [ P(\text{ten sam kolor}) =\frac23\cdot\frac39+\frac13\cdot\frac79 =\frac29+\frac7{27}=\frac{13}{27}. ]

Ze skanu odczytujemy: [ P_A(5)=0{,}20,\quad P_A(6)=0{,}10, ] [ P_B(5)=0{,}30,\quad P_B(6)=0{,}10. ] Sumę większą od $10$ dają tylko pary $(5,6)$, $(6,5)$ i $(6,6)$. Rzuty są niezależne, więc [ P=0{,}20\cdot0{,}10+0{,}10\cdot0{,}30+0{,}10\cdot0{,}10 =0{,}06. ]

Prawdopodobieństwo dwóch białych kul wynosi [ \frac3n\cdot\frac2{n-1}=\frac1{15}. ] Stąd [ n(n-1)=90,\qquad n^2-n-90=0, ] [ (n-10)(n+9)=0. ] Liczba kul jest dodatnia, więc $n=10$. Kul czarnych jest $10-3=7$.

Niech $w=n-4$ oznacza liczbę kul białych. Kule różnego koloru można wylosować w dwóch kolejnościach: [ 2\cdot\frac4{w+4}\cdot\frac{w}{w+3}=\frac47. ] Po uproszczeniu: [ 56w=4(w+4)(w+3), ] [ w^2-7w+12=0, ] [ (w-3)(w-4)=0. ] Zatem $w=3$ albo $w=4$.

Niech $w$ oznacza liczbę kul białych. Wtedy [ P(\text{dwie białe})=\frac{w}{w+1}\cdot\frac{w-1}{w} =\frac{w-1}{w+1}. ] Z warunku [ \frac{w-1}{w+1}=\frac23 ] otrzymujemy $3w-3=2w+2$, czyli $w=5$.

W zbiorze $1,\ldots,99$ jest $49$ liczb parzystych.

[ P(A)=\frac{49}{99}. ] Każda liczba ma takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się na drugim miejscu, więc [ P(B)=\frac{49}{99}. ] Dla dwóch liczb parzystych: [ P(C)=\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}=\frac8{33}. ] Sumę $100$ tworzą uporządkowane pary $(x,100-x)$. Dla każdego $x=1,\ldots,99$ para jest dopuszczalna poza $x=50$, bo tej samej liczby nie można wylosować ponownie. Jest więc $98$ par spośród $99\cdot98$ wyników: [ P(D)=\frac1{99}. ]