MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 63

Wszystkich trójek jest $\binom{12}{3}=220$.

a) Aby nie wylosować czarnej kuli, wybieramy trzy spośród $3+5=8$ pozostałych: [ P=\frac{\binom83}{\binom{12}3}=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}. ]

b) Zdarzenie przeciwne oznacza wylosowanie trzech kul białych: [ P=1-\frac{\binom33}{\binom{12}3} =1-\frac1{220}=\frac{219}{220}. ]

Niech $p$ oznacza szukane prawdopodobieństwo. W pierwszym losowaniu nagrodę pocieszenia daje $3$ z $20$ losów. Dwa losy nakazują powtórzyć doświadczenie, po czym szansa znów wynosi $p$. Zatem [ p=\frac3{20}+\frac2{20}p. ] Stąd [ \frac9{10}p=\frac3{20},\qquad p=\frac16. ]

Jeżeli pierwsza kula jest niebieska, co ma prawdopodobieństwo $\frac5{14}$, po jej odłożeniu i dołożeniu dwóch niebieskich w urnie jest $6$ niebieskich kul spośród $15$.

Jeżeli pierwsza kula nie jest niebieska, co ma prawdopodobieństwo $\frac9{14}$, przed drugim losowaniem jest $5$ niebieskich kul spośród $15$. Zatem [ P(N_2)=\frac5{14}\cdot\frac6{15}+\frac9{14}\cdot\frac5{15} =\frac5{14}. ]

Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: wszystkie trzy nagrody otrzymują mężczyźni. Zatem [ P(\text{co najmniej jedna kobieta}) =1-\frac{\binom{36}{3}}{\binom{48}{3}} =1-\frac{7140}{17296} =\frac{2539}{4324}. ]