MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 61

Oznaczmy przez $T$ wybór monety typowej, a przez $R$ — dwustronnie reszkowej. Mamy [ P(T)=\frac{15}{20}=\frac34,\qquad P(R)=\frac14. ] Prawdopodobieństwo trzech reszek wynosi $\frac18$ dla monety typowej i $1$ dla drugiej. Zatem [ P(T|RRR)= \frac{\frac34\cdot\frac18}{\frac34\cdot\frac18+\frac14\cdot1} =\frac{3/32}{11/32}=\frac3{11}. ]

Oznaczmy przez $N$ kostkę niesymetryczną, a przez $S$ — symetryczną. Obie wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac12$. Dla zdarzenia $D$ „dwie szóstki”: [ P(D|N)=\left(\frac15\right)^2=\frac1{25},\qquad P(D|S)=\left(\frac16\right)^2=\frac1{36}. ] Zatem [ P(N|D)=\frac{\frac12\cdot\frac1{25}} {\frac12\cdot\frac1{25}+\frac12\cdot\frac1{36}} =\frac{36}{61}. ]

Kostki wybieramy z jednakowym prawdopodobieństwem, więc we wzorze Bayesa porównujemy prawdopodobieństwa danej sumy.

a) Dla kostki klasycznej sumę $4$ dają trzy pary ścian, więc $P(4|K)=\frac3{36}$. Dla drugiej kostki dają ją pary $1+3$ i $3+1$, więc $P(4|N)=\frac2{36}$. Zatem [ P(K|4)=\frac3{3+2}=\frac35. ]

b) Dla kostki klasycznej sumę $11$ dają dwie pary. Na drugiej kostce są po dwie ścianki z $5$ i $6$, więc par $5+6$ lub $6+5$ jest $2\cdot2+2\cdot2=8$. Stąd [ P(K|11)=\frac2{2+8}=\frac15. ]

Prawdopodobieństwa wyboru mężczyzny i kobiety wynoszą odpowiednio $\frac15$ i $\frac45$. Daltonizm występuje z prawdopodobieństwem $0{,}05$ u mężczyzn i $0{,}005$ u kobiet. Zatem [ P(K|D)=\frac{\frac45\cdot0{,}005} {\frac15\cdot0{,}05+\frac45\cdot0{,}005} =\frac{0{,}004}{0{,}014}=\frac27. ]

Prawdopodobieństwa wyboru klas wynoszą [ P(\mathrm{IVa})=\frac12,\qquad P(\mathrm{IVb})=P(\mathrm{IVc})=\frac14. ]

a) Bliźnięta stanowią odpowiednio $\frac1{30}$, $\frac6{30}$ i $0$ uczniów: [ P(B)=\frac12\cdot\frac1{30}+\frac14\cdot\frac6{30}=\frac1{15}. ]

b) Wodniki stanowią odpowiednio $\frac3{30}$, $\frac1{30}$ i $\frac2{30}$: [ P(\mathrm{IVa}|W)= \frac{\frac12\cdot\frac3{30}} {\frac12\cdot\frac3{30}+\frac14\cdot\frac1{30}+\frac14\cdot\frac2{30}} =\frac23. ]