MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 60

Prawdopodobieństwa wyboru urn wynoszą [ P(U_1)=\frac14,\qquad P(U_2)=\frac34. ]

a) Dla kuli zielonej: [ P(U_2|Z)= \frac{\frac34\cdot\frac69}{\frac14\cdot\frac26+\frac34\cdot\frac69} =\frac{\frac12}{\frac1{12}+\frac12}=\frac67. ]

b) Dla kuli niebieskiej: [ P(U_2|N)= \frac{\frac34\cdot\frac39}{\frac14\cdot\frac46+\frac34\cdot\frac39} =\frac{\frac14}{\frac16+\frac14}=\frac35. ]

Niech $D$ oznacza otrzymanie dwóch szóstek. Kostki wybieramy z jednakowym prawdopodobieństwem. Ze skanu odczytujemy odpowiednio $1$, $2$ i $4$ ścianki z szóstką, więc [ P(D|K_1)=\left(\frac16\right)^2=\frac1{36}, ] [ P(D|K_2)=\left(\frac26\right)^2=\frac4{36}, \qquad P(D|K_3)=\left(\frac46\right)^2=\frac{16}{36}. ] Wspólny czynnik $\frac13\cdot\frac1{36}$ skraca się we wzorze Bayesa, a suma wag wynosi $1+4+16=21$. Stąd [ P(K_1|D)=\frac1{21},\quad P(K_2|D)=\frac4{21},\quad P(K_3|D)=\frac{16}{21}. ]