MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 59

Niech $B_1,\ldots,B_n$ tworzą rozbicie przestrzeni, a $P(A)>0$. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego: [ P(B_k|A)=\frac{P(A\cap B_k)}{P(A)} =\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}. ] Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite: [ P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i). ] Po podstawieniu otrzymujemy [ P(B_k|A)= \frac{P(B_k)P(A|B_k)} {\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)}, ] czyli wzór Bayesa.

Obie urny wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac12$.

a) Dla kuli czarnej prawdopodobieństwa warunkowe wynoszą $\frac34$ i $\frac46=\frac23$. Zatem [ P(U_1|\text{czarna})= \frac{\frac12\cdot\frac34}{\frac12\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac23} =\frac9{17}. ]

b) Dla kuli białej prawdopodobieństwa wynoszą $\frac14$ i $\frac26=\frac13$: [ P(U_1|\text{biała})= \frac{\frac12\cdot\frac14}{\frac12\cdot\frac14+\frac12\cdot\frac13} =\frac37. ]