MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 58

Prawdopodobieństwo zainteresowania hokejem jest średnią ważoną: [ \frac{0{,}25m+0{,}60n}{m+n}=\frac37. ] Mnożąc stronami: [ 7(0{,}25m+0{,}60n)=3(m+n), ] [ 1{,}75m+4{,}20n=3m+3n, ] [ 1{,}20n=1{,}25m. ] Zatem [ \frac mn=\frac{1{,}20}{1{,}25}=\frac{24}{25}. ]

Dla pierwszej urny [ P_1(3B)=\frac{\binom63}{\binom83}=\frac5{14}. ] Ponieważ urnę wybieramy losowo, warunek zadania daje [ \frac12\left(\frac5{14}+\frac{\binom n3}{\binom{n+4}3}\right)=\frac3{14}. ] Stąd [ \frac{\binom n3}{\binom{n+4}3}=\frac1{14}. ] Dla $n=4$ lewa strona wynosi [ \frac{\binom43}{\binom83}=\frac4{56}=\frac1{14}. ] Iloraz ten rośnie wraz z $n$, więc jest to jedyne rozwiązanie naturalne.

Najpierw umieśćmy oba losy wygrywające w jednej urnie. Jeśli ta urna ma $a$ losów, to [ P(W)=\frac12\cdot\frac2a=\frac1a. ] Największą wartość otrzymujemy dla najmniejszego dozwolonego $a=2$, czyli $P(W)=\frac12$.

Dla rozmieszczenia po jednym losie wygrywającym w urnach o licznościach $a$ i $100-a$: [ P(W)=\frac12\left(\frac1a+\frac1{100-a}\right). ] Przy $2\le a\le98$ jego maksimum jest mniejsze niż $\frac12$ (na krańcu wynosi $\frac{25}{98}$). Optymalne jest zatem umieszczenie obu losów wygrywających samych w jednej urnie, a wszystkich $98$ przegrywających w drugiej.

Sumujemy udziały mieszkańców korzystających z danego salonu pomnożone przez odsetek zadowolonych: [ P=\frac14\cdot0{,}70+\frac15\cdot0{,}40+\frac3{10}\cdot0{,}80+\frac1{20}\cdot0{,}50. ] Zatem [ P=0{,}175+0{,}08+0{,}24+0{,}025=0{,}52. ]

Dla każdego rozdziału obliczamy udział zadań niewymagających kalkulatora: [ \frac{270}{300},\quad \frac{660}{700},\quad \frac{150}{200},\quad \frac{580}{600},\quad \frac{340}{400},\quad \frac{290}{300}. ] Każdy rozdział wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac16$, więc [ P=\frac16\left(\frac9{10}+\frac{33}{35}+\frac34+\frac{29}{30}+\frac{17}{20}+\frac{29}{30}\right) =\frac{1129}{1260}. ]