MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 57

Brygada $B_3$ wyprodukowała połowę desek, a brygady $B_1$ i $B_2$ po jednej czwartej. Zatem [ P(W)=\frac14\cdot0{,}06+\frac14\cdot0{,}03+\frac12\cdot0{,}03 =0{,}0375=\frac3{80}. ]

W każdej urnie jest $9$ kul, więc wszystkich par jest $\binom92=36$.

Dla urn typu I liczba par jednakowego koloru wynosi [ \binom42+\binom42=12, ] więc $P_I(\text{różne})=\frac{24}{36}=\frac23$.

Dla urn typu II liczba par jednakowego koloru wynosi [ \binom22+\binom32+\binom42=10, ] więc $P_{II}(\text{różne})=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}$.

Cztery urny są typu I, a sześć typu II: [ P=\frac4{10}\cdot\frac23+\frac6{10}\cdot\frac{13}{18}=\frac7{10}=0{,}7. ]

Jeśli każda z maszyn $M_1,M_2,M_3$ wyprodukowała po $x$ żarówek, to $M_4$ wyprodukowała $2x$. Udziały produkcji mają więc proporcje $1:1:1:2$. Stąd [ P(W)=\frac15\cdot0{,}02+\frac15\cdot0{,}02+\frac15\cdot0{,}04+\frac25\cdot0{,}04 =0{,}032. ]

Ważymy odsetek odpowiedzi „tak” udziałem każdej klasy w całej grupie: [ P(T)=0{,}20\cdot0{,}40+0{,}10\cdot1+0{,}30\cdot0{,}20+0{,}40\cdot0{,}80. ] Zatem [ P(T)=0{,}08+0{,}10+0{,}06+0{,}32=0{,}56. ]

Oznaczmy przez $Z$ zdarzenie wylosowania dwóch złotych monet.

1. Po jednej monecie z każdej szkatułki: [ P_1(Z)=\frac{10}{15}\cdot\frac5{15}=\frac29. ]

2. Po połączeniu monet: jest $15$ monet złotych spośród $30$: [ P_2(Z)=\frac{\binom{15}{2}}{\binom{30}{2}}=\frac7{29}. ]

3. Po losowym wyborze szkatułki: [ P_3(Z)=\frac12\cdot\frac{\binom{10}{2}}{\binom{15}{2}} +\frac12\cdot\frac{\binom5{2}}{\binom{15}{2}} =\frac{11}{42}. ] Ponieważ $\frac{11}{42}>\frac7{29}>\frac29$, najlepszy jest trzeci sposób.