MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 54

Na szachownicy jest $64$ pól. Zdarzenie $B$ obejmuje dwie kolumny, więc $P(B)=\frac{16}{64}=\frac14$, a $C$ obejmuje cztery nieparzyste wiersze, więc $P(C)=\frac12$. Ich część wspólna ma $2\cdot4=8$ pól: [ P(B\cap C)=\frac8{64}=\frac18=P(B)P(C). ] Zdarzenia $B$ i $C$ są niezależne.

Zdarzenie $A$ obejmuje trzy wiersze, więc $P(A)=\frac38$. W $A\cap C$ leżą dwa z tych wierszy, czyli $16$ pól: [ P(A\cap C)=\frac{16}{64}=\frac14\ne\frac38\cdot\frac12=\frac3{16}. ] Zdarzenia $A$ i $C$ są zależne.

Mamy [ P(A)=\frac36=\frac12,\qquad P(B)=\frac26=\frac13. ] Część wspólna odpowiada wynikowi $5$, zatem [ P(A\cap B)=\frac16=\frac12\cdot\frac13=P(A)P(B). ] Zdarzenia $A$ i $B$ są więc niezależne.

W przestrzeni jest $36$ uporządkowanych wyników.

a) [ P(A)=P(B)=\frac16,\qquad P(A\cap B)=\frac1{36}=P(A)P(B), ] więc $A$ i $B$ są niezależne.

b) Sumę większą od $10$ dają $(5,6)$, $(6,5)$ i $(6,6)$, stąd $P(C)=\frac3{36}=\frac1{12}$. W $A\cap C$ są wyniki $(6,5)$ i $(6,6)$: [ P(A\cap C)=\frac2{36}=\frac1{18}\ne\frac16\cdot\frac1{12}. ] Zatem $A$ i $C$ są zależne.

Mamy [ P(A)=\frac12,\qquad P(B)=\frac15,\qquad P(C)=\frac{16}{100}=\frac4{25}. ]

a) Liczb podzielnych przez $10$ jest $10$, więc [ P(A\cap B)=\frac{10}{100}=\frac1{10}=P(A)P(B). ] Para jest niezależna.

b) Każda liczba podzielna przez $6$ jest parzysta: [ P(A\cap C)=P(C)=\frac4{25}\ne\frac12\cdot\frac4{25}. ] Para jest zależna.

c) Liczby podzielne jednocześnie przez $5$ i $6$ są wielokrotnościami $30$; są trzy: [ P(B\cap C)=\frac3{100}\ne\frac15\cdot\frac4{25}=\frac4{125}. ] Para jest zależna.

Niezależność zdarzeń oznacza [ P(A\cap B)=P(A)P(B). ] Ponieważ $P(B)>0$, dzielimy obie strony przez $P(B)$: [ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A). ] Teza została wykazana.