MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 53

Po dwóch losowaniach w urnie pozostaje $12$ kul.

a) Jeśli obie pierwsze kule były białe, pozostają $4$ białe i $8$ czarnych: [ P=\frac4{12}=\frac13. ]

b) Jeśli pierwsze dwie kule miały różne kolory, pozostaje $5$ białych i $7$ czarnych: [ P=\frac7{12}. ]

Warunek oznacza, że w pierwszej szufladzie znalazły się dokładnie dwie z siedmiu kul. Każda para kul jest wtedy jednakowo możliwa.

Par zawierających kulę białą jest $\binom61=6$, a wszystkich par $\binom72=21$. Zatem [ P=\frac6{21}=\frac27. ]

Trójkę wybieramy bez uwzględniania kolejności spośród $10$ liczb parzystych i $10$ nieparzystych.

Zdarzenie $A$ zachodzi dla jednej albo trzech liczb nieparzystych: [ |A|=\binom{10}{1}\binom{10}{2}+\binom{10}{3}=450+120=570. ] Zdarzenie $B$ oznacza, że wybrano przynajmniej jedną liczbę parzystą: [ |B|=\binom{20}{3}-\binom{10}{3}=1140-120=1020. ] W $A\cap B$ musi być jedna liczba nieparzysta i dwie parzyste, więc $|A\cap B|=450$. Stąd [ P(A|B)=\frac{450}{1020}=\frac{15}{34},\qquad P(B|A)=\frac{450}{570}=\frac{15}{19}. ] Ponieważ $\frac{15}{19}>\frac{15}{34}$, większe jest $P(B|A)$.

a) Równość dwóch zapisów części wspólnej daje [ P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A). ] Zatem [ \frac16P(B)=\frac14\cdot\frac13,\qquad P(B)=\frac12. ]

b) Z $P(B)=2P(B')$ oraz $P(B)+P(B')=1$ otrzymujemy $P(B)=\frac23$ i $P(B')=\frac13$. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite: [ P(A)=\frac15\cdot\frac23+\frac35\cdot\frac13=\frac13. ]

a) $P(A)=1-\frac14=\frac34$ oraz [ P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=\frac35\cdot\frac13=\frac15. ] Stąd [ P(A\cup B)=\frac34+\frac13-\frac15=\frac{53}{60}. ]

b) Z $P(A)=2P(A')$ mamy $P(A)=\frac23$. Dalej $P(A\cap B)=\frac12P(A)=\frac13$, a z $P(A|B)=\frac12$ wynika $P(B)=\frac23$. Zatem [ P(A\cup B)=\frac23+\frac23-\frac13=1. ]

c) $P(B)=\frac12$, więc [ P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=\frac17\cdot\frac12=\frac1{14}. ]

d) $P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=\frac37\cdot\frac78=\frac38$, zatem [ P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=\frac78-\frac38=\frac12. ]

Mamy rozłączne rozbicie [ B=(A\cap B)\cup(A'\cap B). ] Stąd [ P(A\cap B)=P(B)-P(A'\cap B)\ge P(B)-P(A'), ] ponieważ $P(A'\cap B)\le P(A')$. Dzieląc przez dodatnie $P(B)$, otrzymujemy [ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \ge 1-\frac{P(A')}{P(B)}. ] Teza została wykazana.

Oznaczmy przez $P$ zdarzenie „umie pływać”, a przez $N$ — „umie jeździć na nartach”. Ponieważ każdy uczeń spełnia co najmniej jeden warunek, $P(P\cup N)=1$.

a) [ P(P\cap N)=0{,}8+0{,}5-1=0{,}3. ]

b) [ P(N|P)=\frac{0{,}3}{0{,}8}=\frac38. ]

c) Uczniowie nieumiejący pływać muszą umieć jeździć na nartach, więc $P(N|P')=1$.

d) [ P(P|N)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=\frac35. ]