MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 52

a) Wśród czterech białych kul dwie mają numery parzyste, zatem [ P(\text{parzysty numer}\mid\text{biała})=\frac24=\frac12. ]

b) Parzysty numer mają $2$ kule białe, $1$ czarna i $3$ niebieskie, razem $6$ kul. Dwie z nich są białe: [ P(\text{biała}\mid\text{parzysty numer})=\frac26=\frac13. ]

a) Po ustaleniu drugiego wyniku na $3$ pierwszy i trzeci muszą dać sumę $10$. Sprzyjają pary $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$ spośród $36$ par: [ P=\frac3{36}=\frac1{12}. ]

b) Sumę $6$ dają dodatnie uporządkowane trójki; jest ich $\binom52=10$. Drugi i trzeci wynik są nieparzyste dla trójek $(4,1,1)$, $(2,1,3)$ i $(2,3,1)$, więc [ P=\frac3{10}. ]

Wszystkich uporządkowanych par różnych liczb jest $9\cdot8=72$. Reszty z dzielenia przez $3$ tworzą trzy klasy po trzy liczby. Suma cyfr jest podzielna przez $3$ dla reszt $(0,0)$, $(1,2)$ i $(2,1)$, stąd liczba wyników sprzyjających wynosi [ 3\cdot2+3\cdot3+3\cdot3=24. ]

a) $P=\frac{24}{72}=\frac13$.

b) Po wylosowaniu $1$ druga liczba musi należeć do $\{2,5,8\}$, więc $P=\frac38$.

c) Po wylosowaniu $6$ druga liczba musi należeć do $\{3,9\}$, więc $P=\frac28=\frac14$.

a) Nieparzystą sumę daje para o różnych parzystościach; takich par jest $18$. Szóstka musi być połączona z jednym z wyników $1,3,5$ i może wystąpić w pierwszym albo drugim rzucie, co daje $6$ wyników: [ P=\frac6{18}=\frac13. ]

b) Warunek „pierwszy wynik większy od drugiego” spełnia $15$ par. Szóstka może wtedy wystąpić tylko w pierwszym rzucie, a drugi wynik może być równy $1,\ldots,5$: [ P=\frac5{15}=\frac13. ]

Po pierwszym losowaniu w urnie pozostaje $11$ kul.

Jeżeli najpierw wylosowano kulę białą, nadal jest $7$ kul czarnych, więc [ P(A|B_1)=\frac7{11}. ]

Jeżeli najpierw wylosowano kulę czarną, pozostaje $6$ kul czarnych, więc [ P(A|B_2)=\frac6{11}. ]

Na drzewie gałęzie wychodzące z $B_1$ mają prawdopodobieństwa $\frac4{11}$ i $\frac7{11}$, a z $B_2$ — $\frac5{11}$ i $\frac6{11}$, odpowiednio dla drugiego losowania kuli białej i czarnej.

Korzystamy z zależności [ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}. ]

a) $P(A)=1-P(A')=\frac13$, zatem [ P(A|B)=\frac{\frac12\cdot\frac13}{\frac14}=\frac23. ]

b) Ze skanu treści odczytujemy $P(A)=\frac13$. Wtedy [ P(A|B)=\frac{\frac12\cdot\frac13}{\frac25}=\frac5{12}. ]

c) Najpierw wyznaczamy część wspólną: [ P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) =\frac13+\frac34-\frac56=\frac14. ] Zatem [ P(B|A)=\frac{\frac14}{\frac13}=\frac34. ]