MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 51

W $36$ uporządkowanych wynikach suma jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość. Jest $3\cdot3+3\cdot3=18$ takich wyników, więc [ P=\frac{18}{36}=\frac12. ]

Po ustaleniu pierwszego wyniku:

b) dla $3$ druga liczba musi być nieparzysta, co daje $3$ wyniki z $6$;

c) dla $4$ druga liczba musi być parzysta, również $3$ wyniki z $6$.

a) Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: w żadnym rzucie nie wypada szóstka. [ P=1-\left(\frac56\right)^3=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}. ]

b) Przy różnych wynikach jest $6\cdot5\cdot4=120$ uporządkowanych trójek. Jeśli występuje szóstka, wybieramy jej pozycję na $3$ sposoby, a pozostałe dwa różne wyniki na $5\cdot4$ sposobów: [ P=\frac{3\cdot5\cdot4}{120}=\frac12. ]

c) Warunek jednakowych wyników ogranicza przestrzeń do sześciu trójek $(1,1,1),\ldots,(6,6,6)$. Tylko ostatnia zawiera szóstkę, zatem $P=\frac16$.

Oznaczmy [ p=P(A|B)=P(A|B'). ] Ponieważ $0<P(B)<1$, oba prawdopodobieństwa warunkowe są określone. Zdarzenia $B$ i $B'$ tworzą rozbicie przestrzeni, więc [ P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B') =p\bigl(P(B)+P(B')\bigr)=p. ] Stąd [ P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=pP(B)=P(A)P(B). ] Teza została wykazana.