MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 48

a) $P(B)=1-\frac16=\frac56$. Z pierwszego prawa de Morgana:

$$P(A'\cap B')=1-P(A\cup B) =1-\left(\frac12+\frac56-\frac13\right)=0.$$

b) Ponieważ $A\subset B$,

$$P(A)=P(B)-P(B\setminus A)=\frac34-\frac13=\frac5{12}.$$

Z drugiego prawa de Morgana i $A\cap B=A$:

$$P(A'\cup B')=1-P(A)=\frac7{12}.$$

Mamy $P(A)=\frac14$ oraz $P(B)=\frac5{12}$.

Z drugiego prawa de Morgana:

$$P(A'\cup B')=1-P(A\cap B)=\frac{11}{12}.$$

Ponadto

$$P(A\cup B)=\frac14+\frac5{12}-\frac1{12}=\frac7{12}.$$

Z pierwszego prawa de Morgana:

$$P(A'\cap B')=1-\frac7{12}=\frac5{12}.$$

Ze wzoru na sumę zdarzeń oraz z $P(A)=P(B)=\frac12$:

$$P(A\cap B)=1-P(A\cup B).$$

Z prawa de Morgana $(A\cup B)'=A'\cap B'$ otrzymujemy

$$P(A'\cap B')=1-P(A\cup B).$$

Prawe strony są równe, więc $P(A\cap B)=P(A'\cap B')$, co należało uzasadnić.

Zdarzeniu $A'$ sprzyja $6$ par równych, więc $P(A')=\frac6{36}$. Zdarzeniu $B'$ sprzyja $11$ par z co najmniej jedną szóstką, więc $P(B')=\frac{11}{36}$. Ich częścią wspólną jest tylko $(6,6)$.

$$P(A'\cup B')=\frac6{36}+\frac{11}{36}-\frac1{36}=\frac49,$$ $$P(A'\cap B')=\frac1{36}.$$

Niech $A$ oznacza znajomość angielskiego, a $B$ — niemieckiego. Każdy zna co najmniej jeden język, więc $P(A\cup B)=1$. Stąd

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) =\frac78+\frac45-1 =\frac{27}{40}.$$

Oznaczmy zbiory uczniów lubiących matematykę, historię i biologię przez $M,H,B$. W częściach wspólnych tylko dwóch zbiorów jest:

$$|M\cap H\setminus B|=20,\quad |M\cap B\setminus H|=10,\quad |H\cap B\setminus M|=15.$$

Części wyłączne mają liczności:

$$|M\setminus(H\cup B)|=65,\quad |H\setminus(M\cup B)|=50,\quad |B\setminus(M\cup H)|=5.$$

W środku diagramu wpisujemy $5$. Łącznie co najmniej jeden przedmiot lubi

$$100+90+35-25-15-20+5=170$$

uczniów. Żadnego nie lubi $200-170=30$ uczniów, zatem

$$P=\frac{30}{200}=\frac3{20}.$$

Wśród liczb od $1$ do $100$ jest $33$, $25$ i $14$ wielokrotności odpowiednio $3$, $4$ i $7$. Wspólnych wielokrotności par jest:

$$\left\lfloor\frac{100}{12}\right\rfloor=8,\quad \left\lfloor\frac{100}{21}\right\rfloor=4,\quad \left\lfloor\frac{100}{28}\right\rfloor=3.$$

Wielokrotna wszystkich trzech, czyli $84$, jest jedna. Zatem

$$P=\frac{33+25+14-8-4-3+1}{100}=0{,}58.$$