MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 47

Przekształcamy wzór na prawdopodobieństwo sumy:

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).$$

a) $\frac23+\frac14-\frac56=\frac1{12}$.

b) $\frac25+\frac13-\frac{11}{15}=0$.

a) Mamy $P(A)=0{,}6$ i $P(B)=0{,}15$. Stąd

$$P(A\cap B)=0{,}6+0{,}15-0{,}7=0{,}05.$$

b) $P(A\cup B)=1-0{,}25=0{,}75$. Suma rozłącznych części $A\setminus B$, $B\setminus A$ i $A\cap B$ jest równa $P(A\cup B)$, więc

$$P(A\cap B)=0{,}75-0{,}4-0{,}1=0{,}25.$$

Ponieważ $B\subset A$, zbiór $A$ jest rozłączną sumą zbiorów $B$ i $A\setminus B$. Zatem

$$P(A)=P(B)+P(A\setminus B).$$

Po odjęciu $P(B)$ otrzymujemy $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$, co należało uzasadnić.

a)

$$P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=\frac38-\frac14=\frac18.$$

b) Zbiory $B$ i $A\setminus B$ są rozłączne, a ich suma to $A\cup B$. Zatem

$$P(A\setminus B)=P(A\cup B)-P(B)=\frac9{10}-\frac7{10}=\frac15.$$

Jeśli zdarzenia są rozłączne, to $P(A\cup B)=P(A)+P(B)\le1$.

a) $\frac45+\frac14=\frac{21}{20}>1$, więc zdarzenia nie mogą się wykluczać.

b) $\frac23+\frac15=\frac{13}{15}<1$. Nie ma sprzeczności z rozłącznością; takie zdarzenia mogą się wykluczać.

Suma zdarzeń jest rozłączną sumą trzech części:

$$A\cup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\cup(A\cap B).$$

Zatem

$$P(A\cap B)=\frac78-\frac38-\frac14=\frac14>0.$$

Część wspólna nie jest pusta, więc zdarzenia nie mogą się wykluczać.

a) Ponieważ odejmujemy nieujemne $P(A\cap B)$,

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le\frac34+\frac18=\frac78.$$

b) Ponieważ $P(A\cup B)\le1$,

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ge\frac23+\frac23-1=\frac13.$$

Obie tezy zostały wykazane.

Wszystkich par jest $36$.

Dla $A$ mamy $9$ par z dwiema liczbami parzystymi i $9$ par z obiema liczbami większymi od $3$. Cztery pary należą do obu grup:

$$P(A)=\frac{9+9-4}{36}=\frac7{18}.$$

Dla $B$ jest $9$ par o nieparzystym iloczynie oraz cztery pary o iloczynie większym od $24$. Para $(5,5)$ należy do obu grup, więc

$$P(B)=\frac{9+4-1}{36}=\frac13.$$

a) Jest $50$ wielokrotności $2$, $33$ wielokrotności $3$ i $16$ wielokrotności $6$:

$$P=\frac{50+33-16}{100}=0{,}67.$$

b) Jest $33$ wielokrotności $3$, $14$ wielokrotności $7$ i $4$ wielokrotności $21$:

$$P=\frac{33+14-4}{100}=0{,}43.$$

Wśród liczb od $1$ do $200$ jest $100$ wielokrotności $2$, $40$ wielokrotności $5$ oraz $20$ wspólnych wielokrotności $10$. Podzielnych przez $2$ lub $5$ jest $100+40-20=120$.

Pozostałych liczb jest $80$, więc

$$P=\frac{80}{200}=0{,}4.$$