MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 45

Zdarzenia $A$ i $A'$ są rozłączne, a ich suma jest całym zbiorem $\Omega$. Z addytywności prawdopodobieństwa:

$$1=P(\Omega)=P(A\cup A')=P(A)+P(A').$$

Po odjęciu $P(A)$ otrzymujemy $P(A')=1-P(A)$, co należało udowodnić.

Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego.

a) Zdarzeniem przeciwnym jest wyrzucenie samych orłów:

$$P=1-\left(\frac12\right)^4=\frac{15}{16}.$$

b) Zdarzeniem przeciwnym jest brak szóstki w każdym rzucie:

$$P=1-\left(\frac56\right)^3=\frac{91}{216}.$$

Wszystkich wyników jest $36$.

Dla $A'$ suma wynosi co najwyżej $3$, co zachodzi dla trzech par: $(1,1),(1,2),(2,1)$. Zatem

$$P(A)=1-\frac3{36}=\frac{11}{12}.$$

Iloczyn jest co najmniej $25$ tylko dla $(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)$. Stąd

$$P(B)=1-\frac4{36}=\frac89.$$