MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 43

a) Wybieramy jeden los wygrywający i jeden przegrywający:

$$P=\frac{\binom41\binom{36}{1}}{\binom{40}{2}}=\frac{12}{65}.$$

b) Na pierwszej loterii

$$P_1=1-\frac{\binom92}{\binom{10}{2}}=\frac15=\frac{38}{190},$$

a na drugiej

$$P_2=1-\frac{\binom{18}{2}}{\binom{20}{2}}=\frac{37}{190}.$$

Większą szansę daje pierwsza loteria.

Wszystkich szóstek uczniów jest $\binom{20}{6}=38760$.

a)

$$P=\frac{\binom83\binom{12}{3}}{\binom{20}{6}}=\frac{308}{969}.$$

b) Sumujemy przypadki od trzech do sześciu dziewcząt:

$$P=\frac{\sum_{k=3}^{6}\binom8k\binom{12}{6-k}}{\binom{20}{6}} =\frac{17640}{38760}=\frac{147}{323}.$$

Przy losowaniu dwóch butów jest $\binom{10}{2}$ par, z czego $5$ tworzy parę:

$$P_2=\frac5{\binom{10}{2}}=\frac19.$$

Przy losowaniu trzech butów wybieramy jedną z pięciu pełnych par i trzeci but spośród pozostałych ośmiu:

$$P_3=\frac{5\cdot8}{\binom{10}{3}}=\frac13.$$

Iloraz $P_3/P_2$ jest równy $3$.

Każdy ciąg odpowiedzi ma prawdopodobieństwo $2^{-10}$.

a)

$$P=\frac{\binom{10}{9}+\binom{10}{10}}{2^{10}}=\frac{11}{1024}.$$

b)

$$P=\frac{\binom{10}{7}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}}{2^{10}} =\frac{176}{1024}=\frac{11}{64}.$$

Wszystkich trójek kart jest $\binom{52}{3}=22100$.

a)

$$P=\frac{\binom43}{22100}=\frac1{5525}.$$

b) Wybieramy dwa asy i jednego z czterech króli:

$$P=\frac{\binom42\binom41}{22100}=\frac6{5525}.$$

Wszystkich czwórek kart jest $\binom{52}{4}=270725$.

a)

$$P=\frac{\binom{13}{2}\binom{13}{1}\binom{13}{1}}{270725} =\frac{1014}{20825}.$$

b)

$$P=\frac{\binom43\binom{48}{1}+\binom44}{270725} =\frac{193}{270725}.$$

c)

$$P=\frac{\binom{48}{4}+\binom41\binom{48}{3}}{270725} =\frac{263764}{270725}.$$

d) Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego:

$$P=1-\frac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{4}}=\frac{15229}{54145}.$$

Niech $n$ oznacza liczbę kul czarnych. Warunek zadania daje

$$\frac6{n+6}\cdot\frac5{n+5}=\frac13.$$

Stąd

$$(n+6)(n+5)=90,$$ $$n^2+11n-60=0,$$ $$(n-4)(n+15)=0.$$

Liczba kul nie może być ujemna, więc $n=4$.