MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 42

Wszystkich wyników jest $2^4=16$.

$$P(A)=\frac{\binom43+\binom44}{16}=\frac5{16},$$ $$P(B)=\frac{\binom42}{16}=\frac38,$$ $$P(C)=\frac{\binom40+\binom42+\binom44}{16}=\frac12.$$

Największe prawdopodobieństwo ma zdarzenie $C$.

Wszystkich uporządkowanych par jest $36$.

a) Sprzyjają pary $(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)$, więc $P=\frac4{36}=\frac19$.

b) Różnica nie większa niż $1$ daje $6$ par równych i $10$ sąsiednich, zatem $P=\frac{16}{36}=\frac49$.

Wszystkich trójek jest $6^3=216$.

a) Warunek ciągu geometrycznego to $y^2=xz$. Spełnia go sześć ciągów stałych oraz $(1,2,4)$ i $(4,2,1)$, czyli $8$ wyników:

$$P=\frac8{216}=\frac1{27}.$$

b) Warunek ciągu arytmetycznego to $2y=x+z$. Daje on $18$ trójek, więc

$$P=\frac{18}{216}=\frac1{12}.$$

Liczb dwucyfrowych jest $90$.

a) Sumę $11$ mają liczby $29,38,47,56,65,74,83,92$, zatem $P=\frac8{90}=\frac4{45}$.

b) Sumę $6$ ma sześć liczb: $15,24,33,42,51,60$, więc $P=\frac6{90}=\frac1{15}$.

Liczb trzycyfrowych jest $900$. Po odjęciu $1$ od cyfry setek liczymy nieujemne rozwiązania.

a) Dla sumy $2$ pozostaje suma $1$, co daje $\binom32=3$ liczby:

$$P=\frac3{900}=\frac1{300}.$$

b) Dla sumy $3$ pozostaje suma $2$, co daje $\binom42=6$ liczb:

$$P=\frac6{900}=\frac1{150}.$$

Każda z czterech osób wybiera jedno z sześciu pięter, więc wyników jest $6^4$.

a) Różne piętra można przydzielić na $6\cdot5\cdot4\cdot3$ sposobów:

$$P=\frac{360}{1296}=\frac5{18}.$$

b) Wspólne piętro wybieramy na $6$ sposobów:

$$P=\frac6{1296}=\frac1{216}.$$

Każda z dziesięciu różnych kul może trafić do jednej z dziesięciu szuflad, więc wyników jest $10^{10}$. Każda szuflada jest zajęta tylko wtedy, gdy rozmieszczenie jest bijekcją, a takich rozmieszczeń jest $10!$:

$$P=\frac{10!}{10^{10}}=\frac{9!}{10^9}=0{,}00036288.$$

Łatwiej wybierać dwie kule, które pozostają w urnie. Wszystkich par jest $\binom{10}{2}=45$.

a) Aby pozostały tylko białe, wybieramy dwie spośród sześciu białych:

$$P=\frac{\binom62}{45}=\frac13.$$

b) Aby pozostały różne kolory, wybieramy jedną białą i jedną czarną:

$$P=\frac{6\cdot4}{45}=\frac8{15}.$$

Wszystkich trójek jest $\binom{12}{3}=220$.

a) $\frac{\binom52\binom71}{220}=\frac7{22}$.

b) $\frac{\binom72\binom51}{220}=\frac{21}{44}$.

c) $\frac{\binom73}{220}=\frac7{44}$.

d) Odejmujemy układy jednokolorowe:

$$\frac{220-\binom73-\binom53}{220}=\frac{35}{44}.$$