MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 38 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla sumy $17$ jedynym rozkładem jest $5+6+6$ :

A=\{(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)\}.

Dla sumy nie większej niż $6$ wypisujemy wszystkie dodatnie trójki:

\begin{aligned} B=\{&(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),\\ &(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1),\\ &(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),\\ &(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)\}. \end{aligned}

Iloczyn $36$ dają permutacje trójek $(1,6,6)$ , $(2,3,6)$ i $(3,3,4)$ :

\begin{aligned} C=\{&(1,6,6),(6,1,6),(6,6,1),(2,3,6),(2,6,3),(3,2,6),\\ &(3,6,2),(6,2,3),(6,3,2),(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)\}. \end{aligned}

Odpowiedź

$A={(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)}$ ; $B$ jest zbiorem $20$ wypisanych trójek o sumie nie większej niż $6$ ; $C$ jest zbiorem $12$ wypisanych permutacji trójek $(1,6,6)$ , $(2,3,6)$ i $(3,3,4)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Bez zwracania nie można wylosować liczby $13$ dwa razy, więc zdarzenie $A$ jest niemożliwe. Możliwe sumy to $25$ , $26$ i $27$ ; żadna nie jest pierwsza ani nie przekracza warunku „co najwyżej $24$ ”, zatem $B$ i $C$ także są niemożliwe. W każdej parze występuje liczba parzysta $12$ lub $14$ , więc $D$ jest pewne.

Odpowiedź

Pewne jest $D$ ; niemożliwe są $A$ , $B$ i $C$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zdarzenie przeciwne do $A$ oznacza $x<y$ :

\begin{aligned} A'=\{&(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ &(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)\}. \end{aligned}

Zdarzenie $B'$ oznacza jednakową parzystość obu wyników:

\begin{aligned} B'=\{&(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),\\ &(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)\}. \end{aligned}

Kontrprzykład $(1,3)$ należy do $A'\cap B'$ . Pokazuje on, że nie zachodzi żadna z czterech podanych zależności.

Odpowiedź

Nie zachodzi żadna z podanych zależności.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przy oznaczeniach $O$ — orzeł, $R$ — reszka:

\begin{aligned} A&=\{ORR,ROR,RRO,RRR\},\\ B&=\{OOR,ORO,ORR,ROO,ROR,RRO,RRR\},\\ C&=\{ORR,ROR,RRO\},\\ D&=\{OOO\},\\ E&=\{OOO,OOR,ORO,ROO\}. \end{aligned}

Pary zdarzeń wykluczających się to $A,D$ ; $A,E$ ; $B,D$ ; $C,D$ ; $C,E$ . Pary zdarzeń przeciwnych to $A,E$ oraz $B,D$ .

Odpowiedź

Wykluczają się pary $(A,D)$ , $(A,E)$ , $(B,D)$ , $(C,D)$ , $(C,E)$ ; przeciwne są $(A,E)$ i $(B,D)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

niejednoznaczne

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\begin{aligned} A&=\{(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4)\},\\ B&=\{(1,4),(4,1)\},\\ C&=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}. \end{aligned}

b) Zatem

\begin{aligned} A\cup B&=\{(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(5,2),(5,4)\},\\ A\cap B&=B\cap C=A\cap B\cap C=\{(1,4)\}. \end{aligned}

Odpowiedź

a) Zbiory $A$ , $B$ , $C$ są wypisane powyżej. b) $A\cup B={(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(5,2),(5,4)}$ oraz $A\cap B=B\cap C=A\cap B\cap C={(1,4)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: niejednoznaczne