MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 33

a) Traktujemy posłów każdej partii jako jeden blok. Kolejność bloków wybieramy na $2$ sposoby, a osoby wewnątrz nich na $3!$ i $2!$ sposobów:

$$2\cdot3!\cdot2!=24.$$

b) Jedynym możliwym układem partii jest $YXYXYXY$. Posłów partii $Y$ ustawiamy na $4!$, a partii $X$ na $3!$ sposobów:

$$4!\cdot3!=144.$$

a) Cztery dziewczęta tworzą jeden blok. Wraz z ośmioma chłopcami mamy $9$ obiektów, zatem

$$9!\cdot4!=8709120.$$

b) Ośmiu chłopców traktujemy jako blok. Pięć obiektów i ustawienia chłopców dają

$$5!\cdot8!=4838400.$$

a) Z dziesięciu osób wybieramy pięć: $\binom{10}{5}=252$.

b) Z każdej klasy wybieramy jedną z dwóch osób, więc $2^5=32$.

c) Każda delegacja niespełniająca warunku zawiera dokładnie po jednej osobie z każdej klasy. Odejmujemy więc wynik z punktu b):

$$252-32=220.$$

Stanowiska są różne. Od wszystkich uporządkowanych wyborów trzech osób odejmujemy wybory samych mężczyzn:

$$30\cdot29\cdot28-20\cdot19\cdot18 =24360-6840=17520.$$

Najpierw wybieramy cztery spośród dziesięciu kolorów. Z każdej wybranej pary bierzemy lewą albo prawą rękawiczkę, więc

$$\binom{10}{4}\cdot2^4=210\cdot16=3360.$$

a) Wybieramy jedną pełną parę, a następnie sześć różnych par spośród pozostałych jedenastu i po jednej osobie z każdej:

$$12\binom{11}{6}2^6=354816>350000.$$

b) Wybieramy dwie pełne pary, a potem cztery różne pary spośród pozostałych dziesięciu i po jednej osobie z każdej:

$$\binom{12}{2}\binom{10}{4}2^4=221760>220000.$$

Suma pojemności pokojów to $1+2+3+4+5=15$, więc wszystkie miejsca muszą być zajęte. Liczba rozlokowań piętnastu różnych osób wynosi

$$\binom{15}{1}\binom{14}{2}\binom{12}{3}\binom94\binom55 =\frac{15!}{1!\,2!\,3!\,4!\,5!} =37837800.$$