MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 32

Uczeń I najpierw wybiera pierwszą cyfrę na $5$ sposobów, bo nie może nią być $0$. Na drugą pozycję pozostaje także $5$ cyfr, a na kolejne odpowiednio $4$ i $3$. Otrzymuje $5\cdot5\cdot4\cdot3=300$.

Uczeń II liczy wszystkie różnowartościowe ciągi długości $4$, czyli $6\cdot5\cdot4\cdot3$, i odejmuje ciągi zaczynające się zerem: $1\cdot5\cdot4\cdot3$. Różnica również wynosi $300$.

Dostępne cyfry to $0,1,2,3,4,5,6,8,9$.

Dla liczby pięciocyfrowej, gdy ostatnią cyfrą jest $0$, mamy $8\cdot7\cdot6\cdot5$ możliwości. Gdy ostatnią cyfrą jest jedna z $2,4,6,8$, mamy $4\cdot7\cdot7\cdot6\cdot5$. Razem:

$$8\cdot7\cdot6\cdot5+4\cdot7\cdot7\cdot6\cdot5=7560.$$

Analogicznie dla sześciu cyfr:

$$8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4+4\cdot7\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=30240.$$

Suma wszystkich cyfr zbioru wynosi $20$. Wybieramy cztery cyfry, więc ich suma przekracza $12$ dokładnie wtedy, gdy pominiemy $0$, $2$, $4$ albo $6$.

Po pominięciu zera otrzymujemy $4!=24$ liczby. Po pominięciu każdej z trzech niezerowych cyfr mamy $4!-3!=18$ liczb, bo odrzucamy ustawienia zaczynające się zerem. Zatem

$$24+3\cdot18=78.$$

Liczb $k$-cyfrowych jest $2\cdot3^{k-1}$: pierwsza cyfra to $1$ lub $2$, a każda następna ma trzy możliwości. Uwzględniamy również liczbę $0$.

a)

$$1+2(1+3+3^2+3^3)=81.$$

b)

$$1+2(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5)=729.$$

Nieuszkodzonych monitorów jest $36$.

a) Wybieramy trzy spośród nich:

$$\binom{36}{3}=7140.$$

b) Dodajemy wybory z jednym uszkodzonym monitorem:

$$\binom{36}{3}+\binom41\binom{36}{2} =7140+2520=9660.$$

Granatowe są $10-4-3=3$ samochody.

a) Po jednym samochodzie każdego koloru można wybrać na

$$4\cdot3\cdot3=36$$

sposobów.

b) Trzy samochody jednego koloru można wybrać na

$$\binom43+\binom33+\binom33=4+1+1=6$$

sposobów.

a) Warunek $x<y$ spełnia $15$ par. Warunek $x>y+2$ spełnia $3+2+1=6$ dalszych par. Razem jest $21$ wyników.

b) Równość $x=y$ daje $6$ wyników, a $x\ge y+2$ daje $4+3+2+1=10$. Razem $16$.

c) Sumy od $2$ do $5$ dają $1+2+3+4=10$ wyników, a suma $10$ — jeszcze $3$. Razem $13$.