MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 303

Jeśli przekątne rombu mają długości $p,q>0$, to $pq/2=50$, czyli $pq=100$. Z nierówności $p+q\ge2\sqrt{pq}$ wynika $p+q\ge20$. Równość zachodzi dla $p=q=10$, co odpowiada kwadratowi i jest dopuszczalne.

Niech $a,b$ będą przyprostokątnymi, a $c$ przeciwprostokątną. Dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego spełnia $(a+b-c)/2=2$, więc $a+b=c+4$. Z $a^2+b^2=c^2$ otrzymujemy $ab=4c+8$.

Warunek $(a+b)^2\ge4ab$ daje $(c+4)^2\ge16c+32$, czyli $c\ge4+4\sqrt2$. Równość zachodzi dla $a=b$; wtedy $a=b=(c+4)/2=4+2\sqrt2$. Ponieważ promień okręgu opisanego to $c/2$, ten trójkąt daje minimum.

Niech $a$ oznacza bok podstawy, a $h$ wysokość graniastosłupa.

a) Dla podstawy trójkątnej $6a+3h=36$, więc $h=12-2a$. $V(a)=\frac{\sqrt3}{4}a^2(12-2a)$ ma dodatni punkt maksymalny $a=4$; wtedy $h=4$ i $V=16\sqrt3$.

b) Dla podstawy kwadratowej $8a+4h=36$, czyli $h=9-2a$. $V(a)=a^2(9-2a)$ osiąga maksimum dla $a=3$, wtedy $h=3$ i $V=27$.

Oznaczmy krawędzie podstawy przez $x$ i $2x$, a wysokość przez $h$. Szkielet ma długość $4(x+2x+h)=720$, zatem $h=180-3x$.

$V(x)=2x^2(180-3x)$, a $V'(x)=18x(40-x)$. Dla $x>0$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w $x=40$. Wtedy drugi bok ma $80$ cm, a wysokość $60$ cm.

Niech $a$ będzie bokiem kwadratowej podstawy, a $h$ wysokością. Z warunku $2a^2+4ah=24$ wynika $h=(12-a^2)/(2a)$. Objętość $V(a)=(12a-a^3)/2$ ma pochodną $(12-3a^2)/2$, która znika dla $a=2$. Jest to maksimum, a $h=2$.

Z zapisu ucznia $x=4-r$ i $0<r<2$.

a) Dla $V(r)=\frac\pi3r^2\sqrt{16-8r}$ pochodna ma, poza dodatnimi czynnikami, znak czynnika $8-5r$. Zatem objętość rośnie do $r=8/5$ i potem maleje.

b) Pierwiastek i stały dodatni czynnik nie zmieniają miejsca maksimum, więc badamy $F(r)=16r^4-8r^5$. Mamy $F'(r)=8r^3(8-5r)$, co daje ten sam punkt $r=8/5$.

Wtedy ramiona trójkąta mają długość $x=4-r=12/5$, a podstawa $2r=16/5$.

Dla wysokości $x$ i tworzącej $12$ promień spełnia $r^2+x^2=144$. Zatem

$V(x)=\frac13\pi r^2x=\frac13\pi(144x-x^3),\qquad 0<x<12.$

$V'(x)=\pi(48-x^2)$ zmienia znak z dodatniego na ujemny dla $x=4\sqrt3$, więc tam objętość jest największa.